定理定義
閉圖像定理
閉圖像定理設X，Y為巴拿赫空間，T：X Y為線性運算元。定義T的圖像為 的子空間
閉圖像定理 閉圖像定理 閉圖像定理Γ(T)={(x，T(x)) ，x X}。
閉圖像定理 閉圖像定理 閉圖像定理賦予 範數║(x，y)║=║x║+║y║使得 成為巴拿赫空間。那么，這定理指T是連續的（與有界等價）若且唯若Γ(T)在 內是閉集。
驗證推導
閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。
閉圖像定理 閉圖像定理 閉圖像定理 閉圖像定理Γ(T)是閉集的充分必要條件是如果序列{(x，y)}包含於Γ(T)（即對任意n有y=T(x)），而(x，y) (x，y)，那么(x，y) Γ(T)，y=T(x)。如果T是連續的，從連續性立刻可知Γ(T)是閉集，因為連續性是更強的條件：如果x x，則T(x) T(x)。
如果Γ(T)是閉集，可以在Γ(T)定義線性運算元
閉圖像定理π：Γ(T) X，x是(x，y)的一個逆像，
閉圖像定理π：Γ(T) Y，y是(x，y)的一個逆像。
閉圖像定理顯然║π(x，y)║=║y║ ║(x，y)║，因此π是有界運算元。
閉圖像定理 閉圖像定理
閉圖像定理Γ(T)是巴拿赫空間X Y中的閉子空間，所以Γ(T)是巴拿赫空間。X也是巴拿赫空間，π是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆π ：X Γ(T)為有界運算元，因為T=π π ，故T也是有界的。
定理推廣
從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性運算元是有界的。
泛化
閉圖像定理可以通過以下方式推廣到更抽象的拓撲向量空間：
若且唯若其圖形在配備產品拓撲的X×Y空間中被關閉時，從圓筒空間X到Fréchet空間Y的線性運算符是連續的。
並且有一個不需要Y局部凸的版本：
如果兩個F空間之間的線性映射圖被關閉，則映射是連續的。
而閉圖像定理的一般版本是：
閉圖像定理
閉圖像定理假設X和Y是兩個拓撲向量空間（它們不需要是Hausdorff或局部凸起），具有以下屬性：如果G是 任何閉合子空間，而y是任何連續映射 的G到X，那么你是一個開放的映射。 在這種情況下，如果 是一個線性映射，其圖形被關閉，則f是連續的。
