運算元半群
正文
依賴於參數的運算元族。單參數的運算元半群可以通過指數公式exp(-tA)的形式表示出來，其中A是一個運算元，稱為生成元，而t≥0。運算元半群理論是泛函分析的一個分支，主要研究各種類型的運算元半群和它們的生成元的特性，以及指數公式的各種表達形式。這個理論在發展型方程（擴散型及波動型偏微分方程）、馬爾可夫過程論、運算元逼近論、各態歷經理論、控制理論以及量子力學的數學理論中有著廣泛的套用。強連續線性運算元半群 是這樣一族線性運算元{T(t)|t≥0}，它們都連續地映巴拿赫空間x於自身，滿足：①T(0)=I（恆同運算元）；②
對一切t1,t2≥0；③對一切x∈X，有T(t)x→x於x當t↓+0。這類半群可以表示為exp(-tA)的形式，其中A是閉的,有稠密的定義域D(A)，且滿足條件：扽ω0>0,當
>ω0時,I+A有有界逆，並有常數M，使得
n=1,2,…。這個條件還是充分的。指數公式exp(-tA)有幾種解釋。其一，當x∈D(A)時，成立 
。
，
，
。
。
酉運算元群 是希爾伯特空間 H到自身的一族酉運算元(見線性運算元)，{U(t)│-∞<t<∞},滿足:①
對一切實數t1，t2；②對任意x,y∈H，函式(U(t)x,y)是可測的,其中( ,)是H上的內積。斯通定理斷言：U(t)＝exp(-itA), 其中A是H上的一個自伴運算元。而且逆定理也成立。這個定理在群表示論中有重要的作用，在量子力學中則給出薛丁格方程解的表示。 壓縮半群 滿足‖T(t)‖≤1，對一切t>0的強連續運算元半群。成為壓縮半群的生成元A的充要條件是
，對一切λ>0。線性運算元A稱為是增殖的，是指
對一切x∈D(A)，對一切
,式中〈,〉表示x的共軛空間x
與x 間的對偶。壓縮半群的生成元有一個等價的刻畫：A是閉的增殖運算元，並有λ0>0，使得(λ0I+A)的值域是滿的。壓縮半群的套用極為廣泛，許多具體運算元半群都是壓縮的。例如：布朗運動中遷移函式導出的運算元半群、發展型方程的解導出的運算元半群以及泊松核導出的半群等。 解析運算元半群 還有一類特殊的壓縮半群,其中T(t)作為 t的運算元值函式可以解析開拓到一個包含正實軸的複平面中的角形區域上去。這類運算元半群在拋物型方程中有重要套用。
線性運算元半群理論也被推廣到了非線性運算元。非線性壓縮運算元半群{T(t)│t≥0}是這樣一族由巴拿赫空間x中的子集C到自身C 的非線性映射，除了滿足線性強連續運算元半群定義中的條件①～③(但以x∈C代替x∈x)而外，還假設滿足條件④‖T(t)x-T(t)y‖≤‖x-y‖,對一切x,y∈C,和一切t≥0。為了描寫非線性壓縮半群的生成元，引進多值增殖運算元的概念。稱x×x上的一個子集A為一個多值運算元,如果記Ax={y∈x|【x,y】∈A},D(A)={x∈x|Ax≠═},R(A)=UAx,(見非線性運算元)。一個多值運算元A稱為是增殖的，如果，
對一切
。當x是希爾伯特空間時，一個多值增殖運算元就是一個單調運算元。多值增殖運算元有一個等價刻畫：
。當λ>0,對一切【x1,yj】∈A,i=1,2。有下列克蘭多爾－利格特定理：設A是巴拿赫空間x上的一個閉的多值增殖運算元，並且存在λ>0，使得
，則
對一切t>0及一切
都存在，並且T(t)是一個非線性壓縮半群。但是其逆命題一般是不成立的。事實上有例子表明：存在著一個沒有生成元的壓縮半群,即對每個
都不存在。然而當x是一個希爾伯特空間時，上述定理中的條件相當於A是極大單調的。這時其逆定理在下述意義下成立。設x是一個希爾伯特空間,那么在x 的極大單調運算元A與閉凸子集C上的非線性壓縮半群之間存在著一一對應如下:①對每個極大單調運算元A，存在
上的惟一的非線性壓縮半群T(t),使得 
A0x是Ax中取極小模的元素}是這半群的生成元;②對每個在閉凸子集C上定義的非線性壓縮半群T(t),存在惟一的極大單調運算元A,使得
，並且A0是T(t)的生成元。非線性半群理論在非線性發展型方程和非線性各態歷經理論的研究中有重要的套用。 參考書目
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