連通和

連通和

在數學裡,尤其是在拓撲學裡,連通和的運算是指一於流形上的幾何改變。其效果為將兩個給定的流形於各個選定的點附近連線起來。此一建構在閉曲面分類上有著關鍵性的角色。 更一般地,也可以將流形和其子流形連線起來;此一廣義化通常稱為纖維和。另外還有在結上之連通和的一相關概念,其稱為結和或結的複合。

點上的連通和

兩個 m維流形的 連通和為一流形,其將兩個流形各挖去一個球,再將球面邊界黏在一起。

若兩個流形是可定向的,由逆轉定向黏合映射定義的連通和是惟一的。即使這建構使用到的球的選擇,但最後結果都會於同胚下統一。亦可以將此運算作用於光滑範疇上,而其結果也會於微分同胚下統一。

連通和的運算標記為#;例如,A#B即表示為 A和 B的連通和。

連通和的運算中有一球面S 為單位元;亦即,M#S 會同胚(或微分同構)於 M。

閉球面的分類,在拓撲學上的一基本及重大結果,其描述為:任一閉曲面均可表示成 g個環面和 k個實射影平面的連通和。

子空間內定義

連通和 連通和
連通和 連通和
連通和 連通和
連通和 連通和

設和為兩個光滑、可定向且相同維度的流形,及 V為一光滑、封閉且可定向的流形,可內嵌成和的子流形。此外,再假設其存在一法叢的同構

連通和 連通和

其將每一纖維的定向顛倒。然後,ψ便可導出一定向保留的微分同構

連通和 連通和
連通和 連通和
連通和 連通和
連通和 連通和

其中,每一法叢都會微分同構地和於內 V的鄰域一致,且映射

連通和 連通和

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