本書是德國數學家G-CANTOR關於超窮數理論的一部名著，原文用德文寫成，中譯本是根據1915年紐約多佛出版社的英譯本譯成的。本書由G-CANTOR於1895和1897年在MATHEMATSCHE ANNALEN上發表的兩篇論文構成，是G-CANTOR關於超窮數理論研究二十多年工作的總結。第一部分為“全序集的研究”（1895），第二部分為“良序集的研究”（1897），內容分別為超窮基數和超窮序數理論。本書的引言部分是英譯者P.E.B.JOURDAIN對超窮數理論創立過程的歷史追溯，書後的附註是對1897年以後超窮數理論發展所作的一個扼要介紹。
康托爾最著名的著作是1895—1897年出版的《超窮數理論基礎》(共兩卷).
作者簡介
康托爾, G.F.L.Ph.(Cantor,Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生於俄羅斯聖彼得堡;1918年1月6日卒於德國薩克森的哈雷.數學,集合論. 康托爾的祖父母曾居住在丹麥的哥本哈根,1807年英國炮擊哥本哈根時,他們家幾乎喪失了一切,隨後遷往俄羅斯的聖彼得堡,那裡有康托爾祖母的親戚.康托爾的父親喬治·魏特曼·康托爾(George Woldemar Cantor)年輕時,曾在聖彼得堡經商.後來,在漢堡,哥本哈根,倫敦甚至遠及紐約從事國際買賣.1839年由於某種原因破產了.但不久,他又轉到股票交易上,並很快取得了成功.1842年4月21日,魏特曼與們婚後有六個孩子,康托爾是他們的長子.1856年,康托爾隨同全家移居德國的威斯巴登,並在當地的一所寄宿學校讀書.後來在阿姆斯特丹讀六年制中學.1862年,開始了他的大學生活.他曾就學於蘇黎世大學,哥廷根大學和法蘭克福大學.1863年,他父親突然病逝,為此,康托爾回到了柏林,在柏林大學重新開始學習. 在那裡,他從當時的幾位數學大師K.W.T.魏爾斯特拉斯(Weierstrass),E.E,庫默爾(Kummer)和L.克羅內克(Kro-nechen)那裡學到了不少東西.特別是受到魏爾斯特拉斯的影響而轉入純粹數學.從此,他集中全力於哲學,物理,數學的學習和研究,並選擇了數學作為他的職業.可是,最初他父親並不希望他獻身於純粹科學,而是力促他學工.但是,康托爾越來越多地受到數學的吸引.1862年,年輕的康托爾做出了準備獻身數學的決定.儘管他父親對他的這一選擇是否明智曾表示懷疑,但仍以極大的熱情支持兒子的事業.同時還提醒康托爾要廣泛學習各科知識,他還極力培養康托爾在文學,音樂等方面的興趣.康
托爾在繪畫方面表現出的才能使整個家庭為之自豪.
由於康托爾一開始就具有獻身數學的信念,這就為他創立超窮集合論,取得數學史上這一令人驚異的成就,奠定了基礎.儘管19世紀末他所從事的關於連續性和無窮的研究從根本上背離了數學中關於無窮的使用和解釋的傳統,從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責,但是他不顧眾多數學家,哲學家甚至神學家的反對,堅定地捍衛了超窮集合論.也正是這種堅定,樂觀的信念使康托爾義無反顧地走向數學家之路並真正取得了成就.
1866年12月14日,康托爾的第三篇論文"按照實際算學方法,決定極大類或相對解"(In re mathematica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他獲得了博士學位.這時,他的主要興趣在數論方面.1869年,康托爾在哈雷大學得到教職.他的授課資格論文討論的是三元二次型的變換問題.不久,任副教授,1879年任教授,從此一直在哈雷大學擔任這個職務直到去世.1872年以後,他一直主持哈雷大學的數學講座.
在柏林,康托爾是數學學會的成員之一.1864—1865年任主席.他晚年積極為一個國際數學家聯盟工作.他還構想成立一個德國數學家聯合會,這個組織於1891年成立,康托爾是它的第一任主席.他還籌辦了1897年在蘇黎世召開的第一屆國際數學家大會.1901年,康托爾被選為倫敦數學會和其他科學會的通訊會員或名譽會員,歐洲的一些大學授予他榮譽學位.1902年和1911年他分別獲得來自克里斯丁亞那(Christiania)和聖安德魯斯(St.Andrews)的榮譽博士學位.1904年倫敦皇家學會授予他最高的榮譽:西爾威斯特(Sylvester)獎章.
1874年初,康托爾經姐姐G.索菲(Sophie)介紹,與瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)訂婚,並於同年仲夏結婚.他們共有五個孩子.那時,哈雷大學教授的收入很微薄,康托爾一家一直處在經濟困難之中.為此,康托爾希望在柏林獲得一份收入較高,更受人尊敬的大學教授的職位. 然而在柏林,康托爾的老師克羅內克幾乎有無限的權力.他是一個有窮論者,竭力反對康托爾"超窮數"的觀點.他不僅對康托爾的工作進行粗暴的攻擊,還阻礙康托爾到首都柏林工作,使康托爾得不到柏林大學的職位.由於他的攻擊,還使數學家們對康托爾的工作總抱著懷疑的態度,致使康托爾在1884年患了抑鬱症.最初發病的時間較短,1899年,來自事業和家庭生活兩方面的打擊,使他舊病復發.這年夏天,集合論悖論縈繞在他的頭腦中,而連續統假設問題的解決仍毫無線索.這使康托爾陷入了失望的深淵.他請求學校停止他秋季學期的教學,還給文化大臣寫信,要求完全放棄哈雷大學的職位,寧願在一個圖書館找一份較輕鬆的工作.但他的請求沒有得到批准.他不得不仍然留在哈雷,而且這一年的大部時間是在醫院度過的.同時,家庭不幸的訊息也不斷傳來.在他母親去世三年後,他的弟弟G.康士坦丁(Constantin)從部隊退役後去世.12月16日,當康托爾在萊比錫發表演講時,得到了將滿13歲的小兒子G.魯道夫(Rudolf)去世的噩耗.魯道夫極有音樂天賦,康托爾希望他繼承家族的優良傳統,成為一個著名的小提琴家.康托爾在給F.克萊因(Klein)的信中不僅流露出他失去愛子的悲痛心情,而且使他回想起自己早年學習小提琴的經歷,並對放棄音樂轉入數學是否值得表示懷疑.到1902年,康托爾勉強維持了三年的平靜,後又被送到醫院.1904年,他在兩個女兒的陪同下,出席了第三次國際數學家大會.會上,他的精神又受到強烈的刺激,他被立即送往醫院.在他生命的最後十年里,大都處在一種嚴重抑鬱狀態中.他在哈雷大學的精神病診所里度過了漫長的時期.1917年5月他最後一次住進這所醫院直到去世.
康托爾的工作大致分為三個時期,早期,他的主要興趣在數論和經典分析等方面;之後,他創立了超窮集合論;晚年,他較多地從事哲學和神學的研究.康托爾的成就不是一直在解決問題,他對數學最重要的貢獻是他詢問問題的特殊方法,從而開創了大量新的研究領域.這使他成為數學史上最富於想像力,也是最有爭議的人物之一.
1874年,29歲的康托爾就在《克雷爾數學雜誌》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上發表了關於超窮集合理論的第一篇革命性文章,引入了震撼知識界的無窮的概念.這篇文章的題目叫:"關於一切代數實數Zahlen).儘管有些命題被指出是錯誤的,但這篇文章總體上的創造性引起了人們的注意.康托爾的集合論理論分散在他的許多文章和書信中,他的這些文章從1874年開始分載在《克雷爾數學雜誌》和《數學年鑑》(Mathemati-sche Annale)兩種雜誌上.後被收入由E.策梅羅(Zermelo)編的康托爾的《數學和哲學論文全集》(Gesammelte Abhandlangenmathematischen und philosophischen Inhelts)中.1879年至1884年間,康托爾相繼發表了六篇系列文章,並匯集成《關於無窮線性點集》其中前四篇直接建立了集合論的一些重要的數學結果.1883年,康托爾認識到,要想對無窮的新理論作進一步推廣,必須給出較前四篇系列文章更為詳盡的闡述.隨後他又發表了第五和第六兩篇文章,簡潔而系統地闡述了超窮集合論.他在第五篇文章里,還專門討論了由集合論產生的數學和哲學問題,其中包括回答反對者們對實無窮的非難.這篇文章非常重要,後來曾以《集合通論基礎,無窮理論的數學和哲學的探討》(Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeits lehre,ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen)(以下簡稱《集合通論基礎》)為題作專著單獨出版.
