定義
次自反空間 (sub-reflexive space)是自反空間概念的推廣。設X是賦范線性空間，若X’中在X的閉單位球上達到範數的元素f的全體在X*中稠密(按範數拓撲)，則稱X是次自反的。每個巴拿赫空間都是次自反的。
線性賦范空間
設X為非空集合，K為實數域(或複數域)，如果在X的元素之間定義了加法運算“+”，K中的元素和X的元素之間定義了數乘運算“·”，並且這兩個運算之間滿足以下條件：
X關於加法構成加法交換群，即：
(1)對於一切x、y∈X，x+y∈X。
(2)結合律。對於一切x，y，z∈X，成立：
(x+y)+z=x+(y+z)
(3)在X中存在唯一的元素θ(稱為零元素)，使得對一切x∈X，成立x+θ=x。
(4)對於一切x∈X，存在唯一的x′，使得x+x′=θ(x′稱為x的負元素記為-x)。
(5)交換律。對於一切x，y∈X，x+y=y+x。
數乘運算滿足：
(1)對於一切α∈K，一切x∈X，α·x∈X。
(2)(α+β)·x=α·x+β·x，(α，β∈K，x∈X)。α·(x+y)=α·x+α·y，
(3)α·(β·x)=(αβ)·x，
則(X，+，·)稱為數域K上的線性空間(或向量空間)。線性空間中的元稱為點(或向量)。如果K為實數域(或複數域)，則(X，+，·)稱為實線性空間(或複線性空間)。
設‖·‖是線性空間X→R的映射，如果滿足以下3個條件：
(1)正定性。一切x∈X，‖x‖≥0並且‖x‖=0若且唯若x=θ。
(2)三角不等式。‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，(∀x，y∈X)。
(3)一次絕對齊性。‖αx‖=|α||x|，(∀α∈K，∀x∈X)，則‖·‖稱為線性空間X上的範數。
當賦準範數的線性空間的準範數是範數時，該線性空間稱為線性賦范空間(或稱B空間)。
如果X是線性賦范空間，則X必定是賦準范的線性空間 (F空間)。
自反空間
設X為線性賦范空間，X*為X的共軛空間，將X*的共軛空間(X*)*記為X**，稱X**為X的第二次共軛空間。
對於一切x∈X，令：
次自反空間則x**是X*上的有界線性泛函，映射：
τ：x→x**
稱為自然映射。
設X為線性賦范空間，則運算元τ：x→x**是X到X**的保范線性運算元，即：(1)(αx+βy)**=αx**+βy**。(2)‖x**‖=‖x‖。
巴拿赫空間X與它的第二次共軛空間X**的一個閉子空間等距同構。
運算元τ：x→x**把X(同構)嵌入X**。為簡單起見，往往不區別x與x**，把X與τ (X)視為同一，從而X⊂X**，並稱τ為(自然)嵌入運算元。
設X為線性賦范空間，如果X=X**，則稱X為自反空間。
Lp[X，∑，μ](1<p<+∞)是自反空間，而L[X，∑，μ]以及L∞[X，∑，μ]不是自反空間，特別Lp[a，b](1<p<+∞;a，b∈R)是自反空間而L[a，b]以及L∞[a，b]不是自反空間。
設X為自反空間，則X*也是自反空間。
彼茨(B.J.Pettis)定理 設X為巴拿赫空間，則X為自反空間若且唯若X的任何閉子空間均為自反空間。
發展
1963年，R.C.James給出了關於自反空間的一個重要特徵，指出一個Banach空間X自反的充要條件是X上全體有界線性泛函在其單位球面S上達到範數。如果一個Banach空間X不自反，則由R.C.James的結果，一定存在X上有界線性泛函f∈ X*在其單位球面S上不能達到範數。那么對於一般Banach空間的有界線性泛函是否還有進一步特徵呢? E.Bishop和R.Phelps證明了Banach空間X在其單位球面上達到範數的有界線性泛函f∈ X*全體在X*中一定稠。這一結論被稱為Bishop- Phelps定理。根據這個定理，賦范線性空間中的次自反概念也就隨之產生。此外，一個一致凸Banach空間X一定自反，但其逆命題不真。這方面的一個結果是：如果自反Banach空間X的單位球面一致Eberlein緊(UEC)，那么這個空間有一等價各向一致凸(URED)範數。
巴拿赫空間
巴拿赫空間是按範數導出的距離完備的賦范線性空間。設(X，‖·‖)為賦范線性空間.對x，y∈X，ρ(x，y)=‖x-y‖定義了X上的一個距離，使X成為度量空間。如果X按這個距離是完備的，就稱X為巴拿赫空間。L(Ω)(1≤p≤+∞)，C(Ω)，c，c等都是巴拿赫空間的例子。
巴拿赫空間(含賦范空間)是1922年巴拿赫(Banach，S.)與維納(Wiener，N.)相互獨立提出的，並且在不到10年的時間內便發展為相當完美而又有多方面套用的理論.1932年，巴拿赫論述這部分理論的《線性運算元理論》一書的問世，是泛函分析作為獨立的數學分支出現的標誌。巴拿赫空間至今仍是泛函分析研究的基本對象之一。
次自反空間的性質
性質1 M是賦范線性空間X的一稠子空間，則M的共軛空間M′等距同構於X的共軛空間X*。
次自反空間
次自反空間證明 ，用 f'表示f從M到X的保范延拓，設T:f→ f‘，由保范延拓的唯一性，T是一個從M*→X*的連續映射。，設f= g|M是g在M上的限制，記S={x∈ H|‖ x‖ = 1}，由M在X中的稠性，可得：
‖ g‖ = supx∈ S{| g(x)|}= supx∈ S∩ M{| g(x)|}= supx∈ S∩ M{| f(x)|}= ‖ f‖M,
次自反空間故T是一個從M*→X*的等距映射。另一方面，，因為M在X中稠，故存在{xn}∈M，xn→x，由此得：
次自反空間故T線性，所以T又是從M*→X*的一個同構映射。證畢。
設X是一Banach空間，X*是它的共軛空間，記F(x)={f∈ X*| f(x)= ‖ x‖²= ‖ f‖²}，稱F(x)為X上的共軛映象，又記F- 1(f)={x∈ X| f(x)= ‖ x‖²= ‖ f‖²}，稱F- 1(f)為F(x)的逆映象。
性質2 F(x)是Banach空間X上的共軛映象，則以下條件等價：
(1) F(x)在X上范-范下半連續；
(2) F(x)在X上單值且連續；
(3) F(x)單值且〈 F(x+ ty),y〉→〈 F(x),y〉對y一致，(t→ 0)；
(4)存在一個支撐函式o:X→X*,使得〈 y,o(x+ λy)〉→〈 y,o(x)〉對y一致，(λ→ 0)；
(5) X的範數Frechet-可微；
(6) X的共軛空間X*弱一致凸(WUR)。
