基本介紹
次線性函式有一類特別重要的凸函式 ，稱為 次線性函式，它滿足
次線性函式( 正齊次性)；
次線性函式
次線性函式，( 次可加性)。
次線性函式
次線性函式
次線性函式 次線性函式任何線性形式(函式)當然都是 次線性函式。反之，易證：如果 ，且 和 都是次線性函式，那么 一定是線性函式。
相關性質
次線性函式
次線性函式次線性函式必定是凸函式；於是次線性函式本質上也將是仿射函式族的上包絡。但由於次線性函式 還一定滿足 等條件，我們還能得到更強的結果。
次線性函式
次線性函式 次線性函式
次線性函式命題1設線性空間X上的函式 ，且 ，那么 是次線性函式的充要條件為：存在一族線性形式 ，使得
次線性函式 次線性函式 次線性函式
次線性函式推論設 是滿足 的次線性函式，那么 是代數閉凸集。
次線性函式定理 設K為線性空間X中的集合，且 是它的承托函式，即
次線性函式那么
次線性函式的充要條件為：K是代數閉凸集。
Minkowski函式
次線性函式
次線性函式非負的次線性函式稱為Minkowski函式，這種函式與包含原點的凸集緊密相關，設 為凸集，且 ，令
次線性函式
次線性函式這裡規定 ，於是有：
次線性函式命題2 是Minkowski函式。
次線性函式
次線性函式命題3 設A為X中的凸集，且 ， 如,式(2)所定義，那么
次線性函式
次線性函式命題4設 為Minkowski函式，凸集A滿足
次線性函式那么必定有
次線性函式命題3把一個相對代數內部非空的凸集與一個Minkowski函式聯繫起來，且它的相對代數內部與代數閉包也都可用這個Minkowski函式表示，命題4又說明這樣的Minkowski函式聯繫的是一族有相同的相對代數內部和代數閉包的凸集。值得注意的是：命題4中並無A的相對代數內部包含原點的要求，於是式(3)的兩端又可看作相對代數內部和代數閉包概念的某種推廣(這裡用A的錐包代替A的仿射包來考慮)。
舉例
每個（半）範數是一個次線性函式。 相反的情況是不正確的，因為（半）規範可以在任何欄位（不一定是有序的）上具有其域向量空間，並且必須具有R作為其代碼域。
範數，是具有“長度”概念的函式。線上性代數、泛函分析及相關的數學領域，範數是一個函式，是矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。半範數可以為非零的矢量賦予零長度。
定義範數的矢量空間是賦范矢量空間；同樣，定義半範數的矢量空間就是賦半范矢量空間。
在二維的歐氏空間R中定義歐氏範數，在該矢量空間中，元素被畫成一個從原點出發的帶有箭頭的有向線段，每一個矢量的有向線段的長度即為該矢量的歐氏範數。
