複流形
正文
具有復結構的微分流形。即它能被一族坐標鄰域(見微分流形)所覆蓋,其中每個坐標鄰域能與n維復空間Cn中的一個開集同胚,從而使坐標區域中的點具有復坐標 (z1,…,zn),而對兩個坐標鄰域的重疊部分中的點,其對應的兩套復坐標之間的坐標變換是復解析的。稱n 為此複流形的復維數。一個n 維複流形也是2n維的(實)微分流形。作為一維的複流形的黎曼面的研究有著悠久的歷史,而一般複流形的研究從20世紀40年代才開始。現在,它已成為近代數學中十分重要的概念和課題。
最簡單的複流形是複數平面C及復歐氏空間Cn。
考慮R3中的單位球面。它可以被球面分別去掉北極和南極所得到的兩個坐標鄰域所覆蓋。用關於北極的球極投影得到一個坐標映射,而關於南極的球極投影后再取共軛複數又得到另一個坐標映射。這樣,單位球面也構成一維複流形,稱為黎曼球面。
對復射影空間CPn描述如下:設Cn
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對CPn中的任一點p,Z=(z0,…,zn)是它的齊次坐標,那么
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如在複流形M 上定義了一個下列復形式
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在埃爾米特流形中可引進一個二次外微分形式ω,稱為凱勒形式,它在復坐標下的局部表達式為
。
復歐氏空間Cn關於通常度量
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如果在複流形M 上有一個黎曼度量,那么由這個度量,對M 上任一點的每個二維平面可定義截面曲率(見黎曼幾何學)。如特取某點P處的二維切平面σ為全純截面,即n維復切空間TpM 的一維復子空間,則相應於σ的截面曲率,稱為全純截面曲率。前面例子中,復歐氏空間關於通常度量的全純截面曲率為零,復射影空間關於富比尼-施圖迪度量的全純截面曲率為正常數。
參考書目
S.Kobayashi and K.Nomizu,Foundations of differentia Geometry,Vol.2, John Wiley & Sons, New York,1969.