背景
丘成桐與卡拉比先生1941年的霍奇（Hodge）理論剛剛由魏爾（Weyl）和小平邦彥（Kodaira）整理完成。1945年陳省身引進的陳示性類由希策布魯赫（Hirzebruch）發揚光大，證明了拓撲中的符號差定理與代數幾何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程師出身的博特（Bott）證明了他不朽的同倫群周期性定理。這些結果很快激發出了Atiyah-Singer指標定理。塞爾（Serre）用勒雷（Leray）的譜序列計算了代數拓撲中球面的同倫群，用層論寫下了代數幾何名篇GAGA，將複分析系統地引入代數幾何。Kodaira證明了他著名的嵌入定理，發展了複流形的形變理論。稍後，米爾諾（Milnor）發現了七維怪球，納什（Nash）證明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。這些偉大的數學家與他們的定理，如繁星閃耀在天空，令人目不暇接。
1954年的國際數學家大會，菲爾茲（Fields）獎的獲獎者是小平邦彥（Kodaira）和塞爾（Serre），他們的主要獲獎工作都是將複分析、微分幾何與代數幾何完美地結合在一起。正如外爾（Weyl）在他的頒獎詞中所說：“他們的成就遠遠超越了他年輕時的夢想，他們的成就代表著數學一個新時代的到來。”
提出
劉克峰但3年後，在1957年的一篇關於Calabi-Yau流形的幾何結構的文章中，他意識到這個證明根本行不通。這裡需要求解一個極為艱深而複雜的偏微分方程，叫作復的Monge-Ampere方程。他去請教20世紀最偉大的數學家之一的魏爾（AndreWeil）教授。魏爾說：“當時還沒有足夠的數學理論來攻克它。”
眾所周知，龐加萊（Poincare）著名的單值化定理告訴我們，一維複流形的萬有覆蓋只有簡單的三種，球面、複平面和單位圓盤。如何將單值化定理推廣到高維流形，這個問題幾乎主導了現代幾何與拓撲的發展。而即使從復一維到復二維流形，問題的複雜性已經遠超想像，被數學家稱作是從天堂到了地獄。或者說是上帝創造了黎曼面，簡單美麗而又豐富多彩，是魔鬼製造了復曲面，內容複雜，令人眼花繚亂，頭暈目眩。卡拉比猜想可以認為是單值化定理在高維不可思議的大膽推廣，竟然給出了高維複流形中難得一見的一般規律。特別的是它在復卡勒流形的第一陳類大於零、等於零和小於零三個情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陳形式等於其卡勒形式。這恰好對應於黎曼面三種單值化的推廣。
要知道，當時人們知道的愛因斯坦流形的例子都是局部齊性的，甚至都不知道復投影空間中的超曲面，如K3曲面上，是否有愛因斯坦度量。在這樣一種情況下，卡拉比竟然做出如此大膽的猜測，可見其膽識過人，也難怪此後多數幾何學家都懷疑此猜想的正確性，許多人都在努力尋找反例，而不是證明它。正如龐加萊的單值化定理，霍奇定理需要經過數年，乃至數十年努力才得到完美的證明一樣，卡拉比猜想也在數學界的期盼中，等待著它真正的王者到來，這一等就是21年。
證明
卡拉比猜想1954年，義大利著名幾何學家卡拉比在國際數學家大會上提出：在封閉的空間，有無可能存在沒有物質分布的引力場？卡拉比認為是存在的，可是沒有人能證實，包括卡拉比自己。這就是著名的世界數學難題卡拉比猜想。
此後數十年，沒有人能解開這一難題。而幾乎所有數學家都認為，卡拉比是錯的—這個猜想不存在。年輕的丘成桐也對卡拉比猜想發生興趣。但是，開頭他也認為卡拉比猜想是錯的，並且，他自信地認為自己已找到了證明其錯誤的方法。這一訊息一透露馬上引起強烈反響。
不久，丘成桐接到了卡拉比教授的親筆信。卡拉比希望丘成桐證明給他看。這無疑是一份挑戰書，丘成桐只好被迫應戰。他找了大量的例證，用自己認為正確的方法試圖證明卡拉比猜想是錯的。但一次次證明，一次次失敗，有好多次似乎逼近終點，但最後卻往往在很小的地方推不過去。
他不得不給卡拉比教授寫信，承認是自己錯了。那么，能否證明卡拉比猜想是對的？他開始調轉思路，迎難而上。這一投入便是整整4年。
從此，他在世界數學難題的崇山峻岭上孤獨地跋涉，堅忍不拔地攀登著，期待著那數學世界空谷幽蘭的出現。
1976年，丘成桐新婚燕爾，沉溺在新婚的甜蜜中的年輕數學家突然靈感勃發，激情噴涌—他找到了解決卡拉比猜想的方法：他掌握了Kahlabi幾何中的曲率的概念，通過求解這個很難的偏微分方程證明了卡拉比猜想，他終於攻克了這道世界數學難題！世界數學界轟動了，27歲的丘成桐一舉成名。
卡拉比猜想的攻克使丘成桐進入學術的黃金時期，他高歌猛進，成果疊現：他解決了史密斯猜想、愛因斯坦猜想、實蒙日—安培方程狄利克雷問題、閔可夫斯基問題、鏡猜想以及穩定性與特殊度量間的對應性等一連串世界數學難題，以他的研究命名的卡拉比-
丘流形在數學與理論物理上發揮了重要作用。丘成桐成為世界數學星空中一顆耀眼的新星。
1981年，美國數學學會授予丘成桐世界微分幾何最高獎維勃倫獎。
1982年，他獲得菲爾茲獎，這是世界數學領域的諾貝爾獎。
1994年，他獲得瑞典皇家科學院為彌補諾貝爾獎沒設數學獎而專門設立的國際大獎“克雷福特獎”，這是7年一次的世界級大獎，有人稱“比諾貝爾獎還難拿”。
1997年，美國總統親自頒發給他美國國家科學獎。
2010年，他獲得有數學家終身成就獎之稱的沃爾夫數學獎。沃爾夫獎表彰他在幾何分析領域的貢獻，在幾何和物理的多個領域都產生的“深刻而引人注目的影響”。2010年沃爾夫獎頒獎典禮定於5月13日在耶路撒冷舉行，屆時丘成桐將與美國數學家丹尼斯.沙利文分享這筆10萬美元的獎金。至此，丘成桐已經囊括數學界兩大最高獎項。早在1982年，他就獲得40歲以下數學家最高獎——國際數學聯盟菲爾茲獎，而沃爾夫數學獎則被視為終身成就的象徵。
丘成桐已經囊括菲爾茲獎、沃爾夫獎、克萊福特獎這三個世界頂級大獎，歷史上僅有兩位數學家囊括這三大獎項，另一位是比利時數學家德利涅。
丘成桐得獎還為沃爾夫獎創造了另一佳話：他是繼自己的導師陳省身之後，第二位獲得沃爾夫數學獎的華人。
第一陳類大於零
另一個與卡拉比猜想密切相關的問題是代數幾何中全純向量叢的穩定性與其上的Hermitian-Einstein度量的對應問題，這個問題約化成一個與規範場理論相關的極為困難的非線性方程解的存在性問題。1986年丘成桐與烏倫貝克（Uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解決了這個問題。稍後，唐納森也在投影流形上用不同的方法將這個問題解決。1988年，辛普森（Simpson）將這些結果推廣並與霍奇變分理論相結合，發展成為代數幾何中一個極為有效的工具。
對於複流形的切叢，Kahler-Einstein度量可以認為是沒有撓率的Hermitian-Einstein度量，所以Kahler-Eienstein度量意味著流形的切叢在代數幾何意義下是穩定的，但要更細緻更深刻。多年來，丘成桐一直考慮什麼樣的代數穩定性對應著Kahler-Einstein度量的存在。丘成桐的幾個學生，如田剛、李駿、梁乃聰和羅華章等人的博士論文都是討論這方面的題目。他的一些想法記錄在他1990年所發表的100個幾何問題集裡，這個問題集是為陳省身79歲生日而整理的。第65個問題就猜測Kahler-Einstein度量的存在性應該等價於代數幾何中幾何不變數意義下的穩定性。在第一陳類大於零的複流形上，這個猜想首次給出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要條件，建立了標準度量與代數幾何的密切關係。他當時的不少學生，包括田剛在內，都感覺到丘成桐猜想指出了新的研究方向，非常漂亮，也很有意義，開始努力研究丘成桐猜想。在此之前丘成桐也考慮了如何用伯格曼核的想法來逼近Kahler-Einstein度量，如何將卡拉比猜想推廣到開流形與有奇點的流形上，並在幾篇著名的綜述文章中予以詳細的闡述。這些都成為今後復幾何發展的重要綱領，並引領了日後唐納森、田剛等人關於Kahler-Einstein度量方面的工作。基於他的一部分想法，丘成桐與鄭紹遠、莫毅明和田剛整理並發表了一系列的文章，其中一部分組成了田剛的博士論文。眾所周知，田剛的博士論文以及日後的主要工作大都從丘成桐的這些想法和猜想引發而來。
與第一陳類小於和等於零的情況相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陳類大於零的情況一直顯得頗為迷離。首先這類流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。在20世紀60年代，松島（Matsushima）證明了Kahler-Einstein流形的自同構群必須可約。80年代初，福復（Futaki）引進了此類流形上存在Khler-Einstein度量的障礙函式，被稱之為福復不變數。事實上，很多學者，如卡拉比、福復等都誤以為沒有全純向量場應該是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要條件，並沒有意識到流形本身穩定的重要性。在較特殊的復二維情形，有一些存在性結果，但蕭蔭堂一直認為，這些結果並不完備，至今也還沒有完整的結果。此後近30年，田剛一直沿著丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，試圖理解正曲率條件下，穩定性與Kahler-Einstein度量的存在性如何相關，他用福復不變數定義了一個解析穩定性的概念，稱為K-穩定性，並取得了一些進展。然而這個問題的真正突破來自於唐納森，他在2001年證明了如果卡勒流形上的卡勒類中存在一個常數量曲率的度量，並且其自同構群是離散的，那么這個流形就是在代數幾何意義下是穩定的。唐納森所用的關健工具恰好是丘成桐考慮過的伯格曼核的逼近方法，他敏銳地觀察到伯格曼核漸進展開的第二項正是數量曲率，如果它為常數，則相應的偏微分方程便可解。此後唐納森引進了適合研究丘成桐猜想的代數幾何意義下的K-穩定性概念，並在2010年公布了證明K-穩定性與Kahler-Einstein度量存在等價性的丘成桐猜想的綱領。2014年5月，據人民網報導，中國科學技術大學“千人計畫”學者陳秀雄教授和英國數學家唐納森、中科大年輕校友孫崧博士合作，成功解決了“丘成桐猜想”。他們的三篇系列論文近日發表在國際頂級數學期刊《美國數學會雜誌》上。該雜誌審稿人評價說：“陳—唐納森—孫的證明是突破性的，它不僅解決了一個基本性的問題，同時還發展了許多新穎有力的工具，以揭示卡勒幾何、代數幾何和偏微分方程之間的深刻聯繫。”
第一陳類大於零的複流形也叫作法諾流形，這類流形比第一陳類小於零的流形相對來得少，其內容也遠不如後者豐富，例如復一維情形只有一個球面，而復二維的流形從拓撲來看也只是復投影空間吹大幾個點。更有意思的是代數幾何中研究這類流形的工具也遠比微分幾何的方法強大，特別是1979年森重文（Mori）在法諾流形上用有限域的技巧發現的有理曲線存在性，這是迄今為止微分幾何方法一直無法超越的天才發明。以此為工具，代數幾何學家對法諾流形幾何的了解走在了微分幾何研究的前面。
這種情況與第一陳類小於和等於零的情形形成了鮮明的對比，這兩類流形包含比法諾流形豐富得多的例子，而由於丘成桐證明的卡拉比猜想，在這些流形的研究中，微分幾何的方法和工具更強大也更有效。這裡我們還要注意到，正如唐納森等人在他們的文章中所闡述的，K-穩定性並不是一個容易驗證的條件，其實用性也與丘成桐所證明的卡拉比猜想相差甚遠。目前他們所證明的丘成桐猜想唯一有意思的推論還是丘成桐所指出的，K-穩定形可以推出切叢的穩定性。所以即使K-穩定性等價於Kahler-Einstein度量的存在性的猜想得到證明，其重要性也需要在日後的套用中才能得到檢驗。而丘成桐本人則在勾畫了他的猜想的證明綱領後，便將題目交給了他的學生和朋友，一方面他認為他的猜想雖然重要，但與他證明的卡拉比猜想相比還是有很大的距離，另一方面他認為弦理論引發的數學問題要比他自己的猜想更具挑戰性，也有更大的潛力。事實上，他和他的學生與博士後在Calabi-Yau流形上的工作已經在近代數學中開創了一個新的重要研究方向。至於丘成桐猜想證明的正確性和其在幾何學中的前景，只有他這個開創者和專家才有資格來評判了。
第一陳類小於零
第一陳類小於零的卡拉比猜想在1976年被Aubin和丘成桐獨立地解決。
意義
卡拉比猜想的證明也標誌著微分幾何一個新時代的到來。一個新的學科隨之產生，稱為幾何分析。它的定義就是用非線性微分方程的方法來系統地解決幾何與拓撲中的難題，反過來也用幾何的直觀與想法來理解偏微分方程的結構。
丘成桐在1978年的國際數學家大會的大會報告中系統而清晰地描繪了幾何分析與高維單值化理論的發展前景。由此方法，一系列著名的問題得到解決，特別是唐納森（Donaldson）為代表的規範場理論與低維拓撲的結合，漢密爾頓（Hamilton）的Ricci流與龐加萊猜想的歷史性進展，將幾何分析的發展帶到了一個高峰。
另一方面，早在1983年，丘成桐的學生曹懷東、坂東（Bando）便在他的指導下，首先用Ricci流的方法開始研究卡勒流形上標準度量的存在性，使Kahler-Ricci流成為複流形研究中重要的工具之一。
塞爾說過：“一個真正好的數學猜想，它的解決應該隨之而來一系列的推論和綿延不斷的影響。”卡拉比猜想就是如此，這裡我僅舉幾個例子。
首先，對於第一陳類小於和等於零的緊卡勒流形，卡拉比猜想告訴我們，Kahler-Einstein度量總是存在。其中對小於零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的Severi猜想，復二維投影空間的復結構是唯一的，甚至任意維數復投影空間的卡勒復結構也是唯一的。
另一個匪夷所思的推論是，在任意維數的這類複流形上，存在一個奇妙的陳示性數不等式，而此前代數幾何學家卻只能得到復二維的情形。第一陳類等於零的二維複流形是有名的K3曲面，托爾羅夫（Todorov）用Calabi-Yau定理證明了其周期映射是滿射，蕭蔭堂利用Calabi-Yau度量證明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。而高維數的第一陳類為零的複流形的基本結構定理也隨之而來。這些都是復幾何與代數幾何中著名的猜想，在卡拉比猜想證明之前，人們毫無辦法，望而卻步。
最令人驚奇的是上世紀80年代初，超弦學家們認識到第一陳類等於零的三維複流形，恰好是他們的大統一理論所需要的十維時空中的一個六維空間，這神秘的六維空間，在我們看不到的尺度里主宰著我們大千世界的千變萬化。這個發現引發了物理學的一場革命。物理學家們興奮地把這類流形稱為Calabi-Yau空間，Yau便是丘成桐的英文姓氏。有興趣的朋友如果在Google中輸入Calabi-Yau，就會發現近40萬個條目。以至於不少物理學家都以為Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在這場物理學的革命中，每一個有重要貢獻的人都會名揚千古。
Calabi-Yau也在數學中引發了一系列重大的進展，如超弦學家Candelas等人通過研究不同的Calabi-Yau流形給出的相同的超對稱共形場論所發現的鏡對稱猜想。這個猜想由丘成桐、連文豪與劉克峰以及Givental獨立證明，它解決了代數幾何中遺留了上百年的舒伯特（Schubert）計數問題。基於Calabi-Yau流形的基本結構，著名超弦學家威滕、瓦法（Vafa）等人發展的Chern-Simons與拓撲弦對偶理論給出了黎曼面模空間中許多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式給出了無窮多個模空間積分的組合閉公式，此猜想由劉秋菊、周堅與劉克峰一起證明。可以說Calabi-Yau流形早已成為弦論學家們必不可少的魔匣，利用它，他們不斷地變換出令人炫目的猜想，這已經成為數學與理論物理髮展的潮流，至今方興未艾。
