莫比烏斯函式

莫比烏斯函式

莫比烏斯函式,數論函式,由德國數學家和天文學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作為莫比烏斯函式的記號。而據說,高斯(Gauss)比莫比烏斯早三十年就曾考慮過這個函式。莫比烏斯函式在數論中有著廣泛套用。

定義

莫比烏斯函式(Möbius function)是指以下的函式:

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

在這裡,λ( n)是劉維爾函式

莫比烏斯函式是一個數論函式,它同時也是一個積性函式(i.e. μ( ab) = μ(a) μ( b), a,b互質)

當n不等於1時,n所有因子的莫比烏斯函式值的和為0,

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

莫比烏斯函式完整定義的通俗表達:

1)莫比烏斯函式μ(n)的定義域是N

2)μ(1)=1

3)當n存在平方因子時,μ(n)=0

4)當n是素數或奇數個不同素數之積時,μ(n)=-1

5)當n是偶數個不同素數之積時,μ(n)=1

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

前50個莫比烏斯函式值繪製如下:

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

其他函式

梅滕斯函式

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

莫比烏斯函式的求和函式,被稱為梅滕斯函式。

與生成函式

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

莫比烏斯函式有多個生成函式,其中一個與黎曼的ζ(s)有關

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

這個式子可由歐拉積公式展開得到

莫比烏斯函式 莫比烏斯函式

莫比烏斯函式的另一個生成函式如下

其中 |x|<1

與無窮級數

以下是關於莫比烏斯函式的一些無窮級數:

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