近代公理集合論

綜述

近代公理集合論(modern axiomatic set theory) 公理集合論的一個分支.指20世紀初葉建立和發展起來的種種各有其自身公理體系的集合理論.自從古典集合論出現悖論以後，數學家和邏輯學家就不能不認真對待.對此，美國數學家、數學史家克萊因 (Kline, M.)指出:“數學家們首先是求助於把德國數學家康托爾(Cantor,(U. <F. P. ))以相當隨便的方式闡述的，現在所謂的樸素集合論加以公理化，幾何與代數的公理化曾解決了這些領域中的邏輯問題，似乎公理化也可能澄清集合論中的困難”.另外，英國數理邏輯學家羅素(Russell , B. A. W .)對悖論的研究卓有成效，當年曾提出了幾種解決悖論的思想見解，其中之一導致了近代公理集合論的發展.第一個擔負起集合論公理化任務的是德國數學家策梅洛 (Zermelo , E. F. F. ).他在1908年建立了他的集合論公理體系，這就是今天被稱之為ZFC的公理集合論系統.此外，GB是另一個較為著名的公理集合論系統，該系統是由美籍匈牙利數學家馮·諾伊曼 (von Neumann,J.)首先建立，並經由德國學者貝爾奈斯(Bernays,P.)和美籍奧地利數學家哥德爾 (Godel , K.)改進發展起來的.GB系統和ZFC系統的不同之處主要有:

ZFC系統的某些公理是公理模式，因而實際上是無窮多條公理;GB系統則是有窮多條公理. 2. GB系統區分“集合”和“類”，凡能作為其他集合或類的元素者是集合，凡不能作為其他類的元素的類是真類，GB系統中對類和集合使用兩種變元;ZFC系統則沒有這種區分. 此外，在ZFC系統與GB系統之間，若給出一定的對應關係，則可有下列結論: 1.所有ZFC系統的定理都是GB系統的定理.

. GB系統中所有不涉及類的關於集合的定理都是ZFC系統的定理.

. ZFC系統與GB系統是互為相對相容的，即 GB系統相容，若且唯若ZFC系統相容.

ZFC系統、GB系統以及其他種種近代公理集合論系統的建立和發展，都為整個經典數學提供了一個較為牢固的理論基礎，亦即這些系統都在同等程度上避免了過去幾經發現的悖論，而且迄今未發現有其他新的悖論出現.但也都沒有在理論上證明這些系統永遠不可能出現悖論.此外，還應指出;各種近代公理集合論的建立和發展，都不涉及數學研究對象的任何新擴充.

1.

ZFC系統的某些公理是公理模式，因而實際上是無窮多條公理;GB系統則是有窮多條公理. 2. GB系統區分“集合”和“類”，凡能作為其他集合或類的元素者是集合，凡不能作為其他類的元素的類是真類，GB系統中對類和集合使用兩種變元;ZFC系統則沒有這種區分. 此外，在ZFC系統與GB系統之間，若給出一定的對應關係，則可有下列結論: 1.所有ZFC系統的定理都是GB系統的定理.

2.

. GB系統中所有不涉及類的關於集合的定理都是ZFC系統的定理.

3.

. ZFC系統與GB系統是互為相對相容的，即 GB系統相容，若且唯若ZFC系統相容.

ZFC系統、GB系統以及其他種種近代公理集合論系統的建立和發展，都為整個經典數學提供了一個較為牢固的理論基礎，亦即這些系統都在同等程度上避免了過去幾經發現的悖論，而且迄今未發現有其他新的悖論出現.但也都沒有在理論上證明這些系統永遠不可能出現悖論.此外，還應指出;各種近代公理集合論的建立和發展，都不涉及數學研究對象的任何新擴充.

發展

近代公里集合論是在羅素悖論提出後，回響希爾伯特的計畫，從樸素集合論的基礎上建立起來，目的是排除悖論，為數學其他學科的發展提供一套形式化的理論系統。主要成功在於論證系統的協調性，系統間的兼容性，系統中個別公理或假設的獨立性。