簡介
正則公理（也叫做 基礎公理）是Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。在一階邏輯中，這個公理可敘述如下 ：
正則性公理翻譯為較容易理解的說法就是：
正則性公理從這個公理可得出兩個結果，其一為“不存在以自身為元素的集合”，其二為“沒有無限序列 a使得對於所有 i， a是 a的元素”。
通過選擇公理可以證明後者的逆命題也成立：
如果這樣的無限序列不存在，則正則公理為真。所以在假定選擇公理的情況下，兩個陳述是等價的。
正則公理被認為是Zermelo-Fraenkel 集合論中套用最少的公理，因為數學分支中的所有關鍵性結果都可用集合論中的其他公理證明得到。
另外，不包含正則公理的康托的集合論，實際上假定了以自身為一個元素的集合的存在。
基本蘊涵
1）不存在以自身為元素的集合
正則性公理反證，假設有一個集合 A，使得 A是自身的一個元素，即 。
這時，根據配對公理，可以構造出 B= { A}， B也是一個集合。
正則性公理
正則性公理
正則性公理但是根據我們的假定有 及 ，所以 。
這與正則公理相矛盾！所以不存在這樣的集合 A。
2）不存在無限遞降的集合序列
設 f為一定義在自然數集上的函式，且對每個 n， f( n+1) 都是 f( n) 的一個元素。
定義 f的值域 S= { f( n): n是自然數}，按照函式的形式定義 S是一個集合。對 S套用正則公理，可知 S中有一個元素 f( k)，其與 S不相交。
但按照 f和 S的定義， f( k) 和 S有一個公共元素（就是 f( k+1)）。
這是個矛盾，所以不存在這樣的 f。
注意這個論證只有在集合（而非不可定義的類）的情況下才對 f適用。
繼承有限集合V是滿足正則公理的，所以如果你構造V的一個非平凡的超冪，那么它也會滿足正則公理，但是，它會包含無限遞減的元素序列。
3）假定選擇公理，則“無限遞減的集合序列不存在”蘊含正則定理
設非空集合 S是正則公理的一個反例；就是說 S的所有元素都與 S有非空交集。
設 g是 S的選擇函式，就是說對於 S的每個非空子集 s， g會把 s映射到 s自身的一個元素。然後，在非負整數上遞歸的定義函式 f為如下：
f(0)=g(S)
正則性公理那么對於每個 n， f( n) 是 S的一個元素，因此它與 S的交集是非空的。
從而 f( n+1) 是良好定義的，並且是 f( n) 的一個元素。
所以 f是一個無限遞降的鏈。
這是一個矛盾，所有這樣 S不存在。
4）確使有序對 (a,b) 可定義為 {a,{a,b}}
這個定義消除了有序對的 Kuratowski 規範定義 ( a, b) = {{ a},{ a, b}} 中的一對花括弧。
良基性和超集合
在 1917 年，Dmitry Mirimanoff引入了 良基性概念：
一個集合 x是良基的，若且唯若它沒有無限遞降的集合序列：
正則性公理在 ZFC 中通過正則公理而沒有無限遞降 ∈序列。實際上，正則公理經常叫做基礎公理，因為可以證明在 ZFC（沒有正則公理的 ZFC）中，良基性蘊涵了正規性。
在一些沒有正則公理的 ZFC 變體中，非良基集合是可以存在的。在這種系統中工作的時候，不必然良基的集合叫做超集合。明顯的，如果 A∈ A，則 A是非良基超集合。
超集合的理論已經套用於計算機科學（進程代數和最終語義）、語言學（情景理論）和哲學（謊言者悖論）中。
較知名的反基礎公理有三個：
AFA（反基礎公理）— 由 M. Forti 和 F. Honsell 提出；
FAFA（Finsler 的 AFA 版本）— 由 P. Finsler 提出；
SAFA（Scott 的 AFA 版本）— 由Dana Scott提出。
1.AFA（反基礎公理）— 由 M. Forti 和 F. Honsell 提出；
2.FAFA（Finsler 的 AFA 版本）— 由 P. Finsler 提出；
3.SAFA（Scott 的 AFA 版本）— 由Dana Scott提出。
其中第一個的 AFA 是基於Accessible pointed graph（apg），它斷言兩個超集合是相等的，若且唯若它們可被同一個 apg 描繪。在這個框架下，可以證明那定義為 Q={ Q} 的所謂蒯因原子，是唯一存在的。
值得強調的是，超集合理論是經典集合論的擴展而非替代者：在超集合領域內的良基集合符合經典集合論。可以在新基礎或正集合論（或更一般的說帶有是自身的元素的全集的任何集合論）中找到的非良基種類是非常不同的。
羅素悖論和正則公理的聯繫
羅素悖論實際上構造了一個真類，而根據正則公理，真類被排除在ZF集合論的公理體系之外。也就是說，正則公理並沒有真正解決羅素悖論，只是限制了數學所討論的集合（更恰當的說法是類或是蒐集）的範圍，從而 避開了羅素悖論。這是目前數學家們所找到的最好的解決辦法：通過正則公理排除所有已知的矛盾。
