概念
等腰直角三角形是一種特殊的三角形。具有所有三角形的性質：穩定性 。
兩直角邊相等 直角邊夾亦直角 銳角 45° 。
斜邊上中線角平分線垂線 三線合一。
等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45度，高又垂直於斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；那么設內切圓的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為（根號2加1），所以r:R＝1:（根號2加1）。
關係
等腰直角三角形的邊角之間的關係 ：
（1）三角形三內角和等於180°；（2）三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和；
（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角；
4）三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊；
（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.
等腰直角三角形中
的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等.
（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等）.
（2）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的2倍。
（3）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。
注意！
①三角形的內心、重心都在三角形的內部 .②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊
中點。）④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。
線段
中線：頂點與對邊中點的連線，平分三角形。高：頂點到對邊垂足的連線。
角平分線；頂點到兩邊距離相等的點所構成的直線。
中位線：任意兩邊中點的連線。
性質
等邊三角形的性質：（具有等腰三角形的所有性質，結合定義更特殊）1）等邊三角形的內角都相等，且為60度 。
2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一） 。
3）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線 。
等邊三角形的判定：（首先考慮判斷三角形是等腰三角形）
（1）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）
2）三個內角都相等的三角形是等邊三角形
3）有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形
理解等邊三角形的性質與判定。
首先明確等邊三角形定義。三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也稱正三角形。
其次明確等邊三角形與等腰三角形的關係。等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形。
推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論2:有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
等邊三角形重心、內心 、外心、垂心重合，稱為等邊三角形的中心。
等邊三角形的中心、內心和垂心重合於一點。（三心合一）
等邊三角形的每條邊上的中線、高或對角平分線重合。（三線合一）
等邊三角形的複數性質
A,B,C三點的複數構成正三角形
等價於 A+wB+wwC=0
其中
w=cos(2π/3)+isin(2π/3)
1+w+ww=0
生活中的三角形物品
雨傘、帽子、彩旗、燈罩、風帆、小亭子、雪山、樓頂、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、熱帶魚的邊緣線、蝴蝶翅膀、火箭、竹筍、寶塔、金字塔、三角內褲、機器上用的三角鐵、某些路標、長江三角洲、斜拉橋等。解三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 則有（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圓半徑為r)（2）餘弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cbb^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab
勾股定理
在Rt三角形ABC中，〈A=90度，則AB·AB+AC·AC=BC·BC
A>90度，則
AB·AB+AC·AC>BC·BC
三角形相關定理
重心定理
三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍．上述交點叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三邊的垂直平分線交於一點．這點叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三條高交於一點．這點叫做三角形的垂心.
內心定理
三角形的三內角平分線交於一點．這點叫做三角形的內心.
旁心定理
三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點．這點叫做三角形的旁心．三角形有三個旁心．
三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心．
它們都是三角形的重要相關點．
中位線定理
三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的一半．三邊關係定理
三角形任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊．
三角形面積計算公式
S(面積)=a(邊長)h(高)/2---三角形面積等於一邊與這邊上的高的積的一半
梅涅勞斯定理
人物
梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交於F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。證明：
過點A作AG∥BC交DF的延長線於G,則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。
說明
另外,有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣,不看書根本記不住,下面從別人轉來一些方法幫助書寫為了說明問題，並給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅遊景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然後選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點遊玩，最後回到出發點，直升機就停在那裡等待我們回去。
我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“遊歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“遊歷”。
例如直升機降落在A點，我們從A點出發，“遊歷”了其它五個字母所代表的景點後，最終還要回到出發點A。
另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續游過之後，才能變更到其它直線上的景點。
從A點出發的旅遊方案共有四種，下面逐一說明：
方案 ① ——從A經過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之後經過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最後從E經過C（不停留）回到出發點A。
按照這個方案，可以寫出關係式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
現在，您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。
從A點出發的旅遊方案還有：
方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：
（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發還可以向“C”方向走，於是有：
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：
（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發還有最後一個方案：
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會遊覽了兩次。
不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。
現在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些複雜的相除相乘的關係式，不會再寫錯或是記不住吧。
面積公式
S=(1/2)*底*高
S=(1/2)*a*b*sinC(C為a,b的夾角)
S=底*高/2
底X高除2二分之一的（兩邊的長度X夾角的正弦）
s=1/2的周長*內切圓半徑
兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊
大角對大邊
周長c=三邊之和a+b+c
面積
s=1/2ah(底*高/2)
s=1/2absinC(兩邊與夾角正弦乘積的一半)
s=1/2acsinB
s=1/2bcsinA
s=根號下：p(p-a)(p-b)(p-c)其中p=1/2(a+b+c)
這個公式叫海倫公式
正弦定理：
sinA/a=sinB/b=sinc/C
餘弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=a^2+c^2-2accosB
c^2=a^2+b^2-2abcosA
三角形2條邊向加大於第三邊.
三角形面積=底*高/2
三角形內角和=180度
求面積嗎(上底+下底)×高÷2
三角形面積=底*高/2
三角形面積公式：
底*高/2
三角形的內角和是180度
證明方法
證法1
作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過點C作AC的延長線交DF於點P.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180°―90°=90°
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90°
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90°
即∠CBD=90°
又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，
BC=BD=a.
∴BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
a^2+b^2=c^2
證法2
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.
過點Q作QP∥BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵∠BCA=90°，QP∥BC，
∴∠MPC=90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90°，
∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90°.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
證法3
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再作一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB=∠CFD=90°，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD，
同理，RtΔABG≌RtΔADE，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
∴∠ABG=∠BCJ,
∵∠BCJ+∠CBJ=90°,
∴∠ABG+∠CBJ=90°,
∵∠ABC=90°,
∴G,B,I,J在同一直線上，
a^2+b^2=c^2
證法4
作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD.過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面積等於，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴矩形ADLM的面積=.
同理可證，矩形MLEB的面積=.
∵正方形ADEB的面積
=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積
∴即a^2+b^2=c^2
證法5(歐幾里得的證法)
《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再鏇轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對
應的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為AB和BD分別等於FB和BC，所以△ABD
必須相等於△FBC。因為A與K和L是線性對應的，所以四方形BDLK必須二倍面積於△ABD。
因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。因此四邊形BDLK
必須有相同的面積BAGF=AB^2。同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=AC^2。把這兩個結果相加，
AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC。由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由於CBDE是個正方形，因此AB^2+AC^2=BC^2。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
證法6（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）
如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。
由公式（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2;，
即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，這就是勾股定理的結論。
證法七（趙爽弦圖）
在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡後便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的套用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾
股定理在我國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關係即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之
得邪至日。
在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。
在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯定理”。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．前任美國第二十屆總統伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。
1.周髀算經,文物出版社,1980年3月,據宋代嘉定六年本影印,1-5頁。
2.陳良佐:周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關係.刊於《漢學研究》,1989年第7卷第1期,255-281頁。
3.李國偉:論「周髀算經」“商高曰數之法出於圓方”章.刊於《第二屆科學史研討會彙刊》,台灣,1991年7月，227-234頁。
4.李繼閔:商高定理辨證.刊於《自然科學史研究》,1993年第12卷第1期,29-41頁。
5.曲安京:商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明.刊於《數學傳播》20卷,台灣,1996年9月第3期,20-27頁
證法8
（達文西的證法）達文西的證法三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之後，中間那個“洞”的面積前後仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相等，就能得出一個新的關係式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。
然後需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結AD，因為對稱的緣故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么
很明顯，圖三中角A'和角D'都是直角。證明：第一張紙片多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形
CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE
第三張紙片中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因為S1=S2
所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以
OF·OE=C'D'·D'E'則OF^2+OE^2=E'F'^2因為E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2勾股定理得證
定理
如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a^2+b^2=c^2；即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果三角形的三條邊a，b，c滿足a^2+b^2=c^2，如：一條直角邊是3，一條直角邊是4，斜邊就是3×3+4×4=X×X，X=5。那么這個三角
形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）
特殊等腰
解:首先證明面積最大的是它輔助線:將等腰RT△ACB,任意RT△AC'B都畫出外接圓,AB為圓的直徑.(其實這樣做是為了滿足斜邊AB相等,且是RT△).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(藍色輔助線)
∵在半圓中,弧AB上取一點做AB垂線,可知垂線最長的就是CO(F),即圓的半徑.
∴S△=底×高÷2=CF×AB÷2.而CF所在△就是等腰RT△,所以在所有斜邊相等的RT△中,面積最大的都是等腰RT三角形.
其次解:證明周長最大的還是它
輔助線:延長BC到E,使得CE=AC.延長BC'到D,使得C'D=C'A.連線DE,AD,AE.
∵AC'⊥BDAC⊥BE.C'D=C'A,AC=CE.
∴等腰RT△ACE,等腰RT△ADC'.
∴∠AEB=∠ADB=45°
又∵AE,BD為四邊形ADEB的對角線.
∴四邊形ADEB可以內接在一個圓當中(這其實大家也可以用相似證明).
∴∠EDB=∠EAB.
∵AC垂直平分BE,且AC=CE=CB.
∴等腰RT△AEB.EA⊥AB.
∴∠EDB=∠EAB=90°
∴RT△EDB.
∵RT三角形當中斜邊恆大於直角邊.
∴EB>BD.
又∵EB=AC+CB.BD=AC'+C'B.
∴AC+CB>AC'+C'B.
因為RT△ACB周長=AB+(AC+CB).
RT△AC'B周長=AB+(AC'+C'B).
∴等腰RT△ACB周長>任意RT△AC'B周長.（斜邊相等）
