對於n次多項式F(X)=C0X^n+C1X^n-1+……+C（n-1）X^1+C（n）.C0≠0,有著名的牛頓恆等式。他是n次方程F(X)=0的n個根X1、X2、X3、……Xn的同次冪的和與F(X)的函式之間關係的明確表述。】
恆等式內容
牛頓恆等式敘述如下：
設F(X)=0的n個根X1，X2，……，Xn.對於k∈N,記Sk=X1^k+X2^k+……+Xn^k.則有
C0Sk+C1Sk-1+……+C（n）Sk-n=0 ，當k＞0 (N1)
C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，當1≤k≤n (N2)
艾薩克牛頓
艾薩克·牛頓（Isaac Newton）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，其研究領域包括了物理學、數學、天文學、神學、自然哲學和鍊金術。牛頓的主要貢獻有發明了微積分，發現了萬有引力定律和經典力學，設計並實際製造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的傑出成就，“
牛頓肖像數學方面牛頓也貢獻頗多，以他和萊布尼茲共同發明的微積分最為重要。除此以外，他還發現了了二項式展開定理、牛頓恆等式等重要定理。
n=2時簡單證明
對於一元二次方程，即：
F(X)=ax^2+bx+c=0,a≠0. (1）
此時，牛頓恆等式為：
牛頓恆等式，設X1,X2為方程兩根，對於k∈N,記Sk=x1^k+x2^k,則有
aSk+bSk-1+cSk-2=0,k＞2 (2)
aS1+b=0,aS2+bS1+2c=0 (3)
下面是2，3式的證明：
由於x1,x2為方程二根，
易得ax1^2+bx+c=0,ax2^2+bx2+c=0
當k＞2時，分別以x1^(k-2)和x2^(k-2)乘上這兩個式子，得
ax1^k+bx1^(k-1)+cx1^(k-2)=0
ax2^k+bx2^(k-1)+cx2^(k-2)=0 (4)
相加（4）式，即可得（2）
由韋達定理：S1=x1+x2=-b/a,所以aS1+b=0,即（3）一式成立，
S1^2=(x1+x2)^2=x1^2+x2^2+2x1x2=S2+2c/a
又因為S1=-b/a,
所以-b/aS1=S2+2c/a,
即aS2+bS1+2c=0，即（3）二式成立
對於n＞2其他情況，可以類比（2）（3）式加以證明
恆等式套用
證明韋達定理由（3）式證明即可以看出：通過韋達定理既然可以推出（3）式，那么牛頓恆等式（3）式與韋達定理是等價的。通過逆推就可以證明韋達定理的正確性。
其他有用推論1，通過方程1係數a，b，c，即可逐個確定s1,s2,s3……
2， 如a=1，b，c∈Z，則Sk∈Z,k=1,2,3……
3，通過牛頓恆等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知Sk的奇偶性。
