無窮性公理
正文
G.F.P.康托爾在建立集合論時，發現僅靠邏輯公理不能保證有無窮集合存在，因為沒有一個一階公式能在無窮個體域有效而在有窮個體域上不有效。而利用ZF系統中的公理①～⑥及⑧、⑨（見集合論）雖然可以定義一個個具體的自然數，也可以定義自然數概念，但卻無法證明全體自然數的集合ω ={0,1,… }存在，也無法證明任何一個無窮集合的存在性。實際上,如果ZF-有模型，則全體繼承性有窮的集合，即其本身有窮、其元素有窮、其元素的元素有窮……仍是ZF-的模型。即便如此,ZF-公理仍不能保證無窮集的存在，而必須有一條專門的公理。按照無窮性公理，最基本的無窮集是自然數集ω，ω的最突出的特點是歸納性。它表現為如果嗞 ∈,並且x∈AU{x}∈A,就稱A為歸納集。無窮公理通常就是從這個角度陳述的。利用無窮性公理和子集公理（見子集公理模式）可以定義 ω為最小的歸納集，一旦有了ω 就可以證明歸納原則和遞歸定理，然後就可以遞歸地定義自然數上的各種運算。例如， 可以把加法定義為m+0=m，n+s(n)=s（m+n）；乘法定義為m·0=0,m·s(n)=m·n+m。例中m為任意自然數，自然數之間的<關係定義為∈。容易驗證，這樣定義出的自然數與直觀的自然數概念是吻合的。利用 ω和ZF公理可以定義整數、有理數、實數、複數等各種數學對象及其運算，也可以推出形形色色的無窮集合的存在性。
