無界函式

無界函式的定義：對任意的M>=0且小於正無窮，存在x,使得|f(x)|>=M，則f(x)無界。無界函式的概念是指某個區間上的。無窮大量是指在自變數的某個趨限過程(例)下因變數的變化趨勢.若對於任意正數,總存在,對一切滿足的,總有,則稱函式是時的無窮大量。無窮大量必是無界量，無界量未必是無窮大量。舉例：有函式Y=X*sinX,則此函式為無界函式，但不為無窮函式。

定義

無界函式

無界函式

定義1 設函式的定義域為D，若存在一個常數M(L)，使得，都有

無界函式

無界函式

無界函式

則稱為D內 有上(下)界的函式，數M(L)稱為在D內的 一個上(下)界。

無界函式

無界函式

定義2 設函式若存在一個正數K>0，使得，都有

無界函式

無界函式

則稱在D內是 有界函式；否則，稱為 無界函式 。

無界函式

無界函式

有界函式的 等價定義是：若在D內既有上界又有下界，則稱在D內是有界函式。

無界函式

無界函式

在D內有界若且唯若數集是有界集，即

無界函式

無界函式

其中M，L為常數，分別稱為的一個 上界和一個 下界。

無界的正面描述是：

無界函式

無界函式

無界函式

是無界函式若且唯若，使得。

有界函式的幾何意義：

無界函式

無界函式

若函式為有界函式，則的圖像

無界函式

完全落在直線y=M和y=-M之間。

注意： 函式的有界性與函式自變數x的取值範圍有關，如：y=x，在 R內無界，但在任何有限區間內都有界 。

舉例說明

有界函式的圖形必介於兩條平行於x軸的直線y=-M和y=M之間（當自變數為x時），籠統地說某個函式是有界函式或無界函式是不確切的，必須指明所考慮的區間。

無界函式

無界函式

無界函式

無界函式

例如，函式在內是有界的，因為對任意，存在M=1，使得恆成立。

無界函式

無界函式

函式在開區間上是無界的。

無界函式

無界函式

函式在開區間(0，1)內是無界的，而函式在區間[1，2]內是有界的。

無界函式

無界函式

無界函式

函式是有界函式，因為在其定義域內恆有。