定義
共軛函式
共軛函式設函式 ，定義函式 為
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式此函式稱為函式 的 共軛函式。使上述上確界有限，即差值 在 有上界的所有 構成了共軛函式的定義域。圖1描述了此定義。
圖1
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式 共軛函式
共軛函式
共軛函式圖1中，函式 以及某一 。共軛函式 是線性函式 和 之間的最大差值，見圖中虛線所示。如果 可微，在滿足 的點 處差值最大。
共軛函式
共軛函式 共軛函式 共軛函式
共軛函式
共軛函式顯而易見， 是凸函式，這是因為它是一系列 的凸函式(實質上是仿射函式)的逐點上確界。無論f是否是凸函式， 都是凸函式。(注意到這裡當 是凸函式時，下標 可以去掉，這是因為根據關於擴展值延伸的定義，對於 )。
基本性質
Fenchel不等式
共軛函式 共軛函式從共軛函式的定義我們可以得到，對任意 和 ，如下不等式成立
共軛函式 共軛函式上述不等式即為 Fenchel不等式(當 可微的時候亦稱為 Young不等式)。
共軛函式
共軛函式以函式 為例，其中 ，我們可以得到如下不等式
共軛函式共軛的共軛
共軛函式
共軛函式
共軛函式 共軛函式上面的例子以及“共軛”的名稱都隱含了凸函式的共軛函式的共軛函式是原函式。也即：如果函式f是凸函式且f是閉的(即 是閉集)，則 。例如，若 ，則我們有 ，即f的共軛函式的共軛函式還是f。
可微函式
可微函式f的共軛函式亦稱為函式f的 Legendre變換。(為了區分一般情況和可微情況下所定義的共軛，一般函式的共軛有時稱為 Fenchel共軛。)
共軛函式 共軛函式
共軛函式
共軛函式 共軛函式 共軛函式 共軛函式 共軛函式 共軛函式設函式f是凸函式且可微，其定義域為 ，使 取最大的 滿足 ，反之，若 滿足 ， 在 處取最大值。因此，如果 ，我們有
共軛函式
共軛函式 共軛函式所以，給定任意y，我們可以求解梯度方程 ，從而得到y處的共軛函式 。
共軛函式
共軛函式我們亦可以換一個角度理解。任選 ，令 ，則
共軛函式伸縮變換和複合仿射變換
共軛函式
共軛函式若a>0以及b∈R， 的共軛函式為 。
共軛函式
共軛函式
共軛函式設 非奇異， ，則函式 的共軛函式為
共軛函式
共軛函式其定義域為 。
獨立函式的和
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式如果函式 ，其中 和 是凸函式，且共軛函式分別為 和 ，則
共軛函式換言之，獨立凸函式的和的共軛函式是各個凸函式的共軛函式的和。(“獨立”的含義是各個函式具有不同的變數。)
舉例分析
考慮R上一些凸函式的共軛函式。
仿射函式
共軛函式
共軛函式 共軛函式
共軛函式
共軛函式，作為x的函式，若且唯若y=a，即為常數時 有界。因此，共軛函式 的定義域為單點集 ，且 。
負對數函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式，定義域為 。當 時，函式 無上界，當y<0時，在 處函式達到最大值。因此，定義域為 ，共軛函式為 。
指數函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式 共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式，當 時，函式 無界。當y>0時，函式 在 處達到最大值。因此 。當 時， 。綜合起來， (我們規定 )。
負熵函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式 共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式，定義域為 (同上面討論， )。對所有 y，函式 關於 在 上有上界，因此 。在 處，函式達到最大值。因此 。
反函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式
共軛函式， 。當y>0時， 無上界。當y=0時，函式有上確界0；當y<0時，在 處達到上確界。因此， 且 。
