貝塔函式簡介
在機率統計和其他套用學科中會經常用到伽瑪函式和貝塔函式，有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函式或伽瑪函式。 貝塔函式又稱為第一類歐拉積分，伽瑪函式也可稱為第二類歐拉積分。
貝塔函式對任意實數
貝塔函式稱該函式為貝塔函式，或 Beta 函式，B 函式。
貝塔函式
貝塔函式
貝塔函式
貝塔函式 貝塔函式當P<1 時，是以 為瑕點的無界函式反常積分；當 時，是以 為瑕點的無界函式反常積分，套用柯西判別法可證得當 時，這兩個無界函式反常積分都收斂，所以貝塔函式的定義域為 。
貝塔函式性質
連續性
貝塔函式貝塔函式在定義域 內連續。
貝塔函式
貝塔函式
貝塔函式 貝塔函式證明：由於對任何 成立不等式 ，而積分 收斂，故由魏爾斯特拉斯 M 判別法可知貝塔函式在定義域 內連續。
對稱性
貝塔函式推導過程：
貝塔函式
貝塔函式令 ，得： 。
遞推公式
貝塔函式（1） ；
貝塔函式（2） ；
貝塔函式（3） 。
近似公式
貝塔函式根據斯泰林公式，當P，Q比較大時，我們有近似公式 。
其他形式
貝塔函式
貝塔函式（1）令 ，則有： 。
貝塔函式
貝塔函式（2）令 ，則有 。
貝塔函式
貝塔函式
貝塔函式（3）考察 ，令 ，則有： ，
貝塔函式故有： 。
與其它函式
與伽瑪函式的關係
貝塔函式
貝塔函式（1）對於任意的正實數 ，有關係表達式： 。
貝塔函式
貝塔函式（2）當P、Q都是正整數時，我們可以將結果寫成 ，其中 是二項式係數。
貝塔函式（3） 。
與不完全貝塔函式關係
貝塔函式（1） ，很顯然當 x 取1時，結果就變成完全的貝塔函式了。
貝塔函式（2）不完全貝塔函式和對應貝塔函式的比值 構成了歸一化的貝塔函式。而它正好是滿足貝塔分布的隨機變數的分布函式。
