波萊爾可測函式

波萊爾可測函式(Borel measurable function)亦稱波萊爾函式，是與波萊爾集相適應的可測函式。設f(x)是定義在波萊爾集B⊂R上的擴充實值函式，若對任意實數α，點集{x∈B|f(x)>α}是一波萊爾集，則稱f(x)是B上的波萊爾可測函式。這類函式構成了勒貝格可測函式類的子類，R中勒貝格可測函式與波萊爾函式的複合函式有如下關係：B°B=B， L°B=L， B°L=X， L°L=X，其中B，L分別表示波萊爾可測、勒貝格可測，X表示不一定可測 。

基本信息

• 中文名：波萊爾可測函式

• 相關概念：波萊爾集，可測函式等
• 別名：波萊爾函式
• 所屬學科：數學

定義

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

假設 ，是定義在 上的單值實函式，稱 為(m元) 波萊爾函式，如果對於任意實數 ，其中 是m維波萊爾 代數。波萊爾函式又叫做波萊爾可測函式(或 -可測函式) 。

波萊爾函式是一類相當廣泛的函式，它包括一切階梯函式、一切連續函式和分段連續函式。波萊爾函式經過有限次的加、減、乘、除運算以及函式的複合，仍然是波萊爾函式；波萊爾函式列的(上、下)極限以及上確界和下確界仍然是波萊爾函式。

相關性質定理

波萊爾可測函式

1. 波萊爾函式是相當廣泛的一類函式：一切波萊爾集的示性函式都是波萊爾函式；即如果 ，則它的示性函式

波萊爾可測函式

是 波萊爾函式。

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

2. 假設 而 是任意n個實數，那么

波萊爾可測函式

是 波萊爾函式(稱做 波萊爾階梯函式)。

波萊爾可測函式

3. 如果 是一列波萊爾函式，則

波萊爾可測函式

都是波萊爾函式。

4. 一切連續函式都是波萊爾函式。

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

5. 如果 ，是m元波萊爾函式，而 ，是一元波萊爾函式，則 ，是一元波萊爾函式。特別，如果 和 是波萊爾函式，則 都是波萊爾函式。

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

引理1 假設 ，是波萊爾函式，而 是機率空間 上的m維隨機向量。那么， 是一隨機變數 。