利用正則公理可以證明不存在下列形式的集合:
1、x∈x:如果這樣的集合x存在,那么{x}只有x一個元素,但{x}∩x={x}非空,不合於正則公理。
2、所有集合組成的集合:如果這個集合存在,那么根據第一條必然不是自身的元素,但是與定義矛盾。
3、無限序列{xn}使xi+1∈xi,i∈N:反設f(i)=xi,i∈N,而S為f的值域(根據替換公理模式可以構造這個集合),那么S中不可能存在和S不相交的元素了,因為S中的元素都可寫成f(i)的形式,但f(i+1)∈f(i),而f(i+1)也是S的元素,f(i+1)∈f(i)∪S。矛盾。
第3條定理和選擇公理合起來可以反推正則公理。反設存在不滿足正則公理的S,對S的非空子集組成的集合使用選擇公理,得到選擇函式g,定義{xn}:x0=g(S),xi+1=g(xi∩S),i∈N,則因為每次選出的都是S的元素從而和S有交集,選擇總是成立,從而這個無限序列存在;又滿足xi+1∈xi,與前提矛盾。
注意正則公理並沒有否定羅素悖論,因為如果通過其他公理能夠構造出該悖論中的集合,那么仍然是矛盾。實際上不用正則公理,羅素已經替我們證明了這個集合是不存在的。
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