基本概念
模糊集和隸屬函式
定義 1 論域X 到[0,1] 閉區間上的任意映射
μ ：X →[0,1]
x →μ (x)
都確定X 上的一個模糊集合A ，μ 叫做A 的隸屬函式，μ (x) 叫做x 對模糊集A 的隸屬度，記為：
{(x,μ (x)) | x ∈X }
使μ (x) =0.5 的點x 稱為模糊集A 的過渡點，此點最具模糊性。
模糊數學模型顯然，模糊集合A 完全由隸屬函式μ 來刻畫，當μ (x){0,1} 時，A 退化為一個普通集。
模糊集的運算
常用取大“∨”和取小“∧”運算元來定義Fuzzy 集之間的運算。
定義2 對於論域X 上的模糊集A ，B ，其隸屬函式分別為μ(x) ，μ(x) 。
A B
i) 若對任意x ∈X ，有μ(x) ≤μ(x) ，則稱A 包含B ，記為B ⊆A ；
B A
ii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，則稱A 與B 相等，記為A B 。
定義3 對於論域X 上的模糊集A ，B ，
i) 稱Fuzzy 集C A UB ，D A IB 為A 與B 的並（union ）和交（intersection ），
即
C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)
D (A IB(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)
他們相應的隸屬度μ (x),μ (x) 被定義為
C D
μ (x) max{μ (x),μ (x)}
C A B
μ (x) min{μ (x),μ (x)}
D A B
ii) Fuzzy 集AC 為A 的補集或余集(complement)，其隸屬度
μ (x) 1−μ (x)
AC A
隸屬函式的確定方法
模糊數學的基本思想是隸屬度的思想。套用模糊數學方法建立數學模型的關鍵是建
立符合實際的隸屬函式。如何確定一個模糊集的隸屬函式至今還是尚未解決的問題。這
里僅僅介紹幾種常用的確定隸屬函式的方法。
模糊統計方法
模糊統計方法是一種客觀方法，主要是基於模糊統計試驗的基礎上根據隸屬度的客
觀存在性來確定的。所謂的模糊統計試驗包含以下四個要素：
i) 論域X ；
ii) X 中的一個固定元素x0 ；
*
iii) X 中一個隨機變動的集合A (普通集)；
* *
iv) X 中一個以A 作為彈性邊界的模糊集A ，對A 的變動起著制約作用。其中
* *
x0 ∈A ，或者x0 ∉A ，致使x0 對A 的關係是不確定的。
假設做n 次模糊統計試驗，則可計算出
*
x A
0 ∈ 的次數
x0 對A 的隸屬頻率=
n
實際上，當n 不斷增大時，隸屬頻率趨於穩定，其頻率的穩定值稱為x0 對A 的隸屬度，
即
*
x0 ∈A 的次數
μ (x ) =lim
A 0
n→∞ n
指派方法
指派方法是一種主觀的方法，它主要依據人們的實踐經驗來確定某些模糊集隸屬函
數的一種方法。
如果模糊集定義在實數域R 上，則模糊集的隸屬函式稱為模糊分布。所謂指派方
法就是根據問題的性質主觀地選用某些形式地模糊分布，再根據實際測量數據確定其中
所包含地參數，常用的模糊分布如表 1 所示。
實際中，根據問題對研究對象的描述來選擇適當的模糊分布：
① 偏小型模糊分布一般適合於描述像“小，少，淺，淡，冷，疏，青年”等偏小
的程度的模糊現象。
② 偏大型模糊分布一般適合於描述像“大，多，深，濃，熱，密，老年”等偏大
的程度的模糊現象。
③ 中間型模糊分布一般適合於描述像“中，適中，不太多，不太少，不太深，不
太濃，暖和，中年”等處於中間狀態的模糊現象。
但是，表 1 給出的隸屬函式都是近似的，套用時需要對實際問題進行分析，逐步修
改進行完善，最後得到近似程度更好的隸屬函式。
方法
在實際套用中，用來確定模糊集的隸屬函式的方法示多種多樣的，主要根據問題的
實際意義來確定。譬如，在經濟管理、社會管理中，可以藉助於已有的“客觀尺度”作
為模糊集的隸屬度。下面舉例說明。
如果設論域X 表示機器設備，在X 上定義模糊集A =“設備完好”，則可以用“設
備完好率”作為A 的隸屬度。如果X 表示產品，在X 上定義模糊集A =“質量穩定”，
則可以用產品的“正品率”作為A 的隸屬度。如果X 表示家庭，在X 上定義模糊集A
=“家庭貧困”，則可以用“Engel 係數=食品消費/總消費”作為A 的隸屬度。
另外，對於有些模糊集而言，直接給出隸屬度有時是很困難的，但可以利用所謂的
“二元對比排序法”來確定，即首先通過兩兩比較確定兩個元素相應隸屬度的大小排出
順序，然後用數學方法加工處理得到所需的隸屬函式。
模糊關係、模糊矩陣
基本概念
定義 4 設論域U ，V ，乘積空間上U ×V {(u,v) u ∈U,v ∈V}上的一個模糊
子集R 為從集合U 到集合V 的模糊關係。如果模糊關係R 的隸屬函式為
μ ：U ×V →[0,1] ， (x,y ) aμ (x,y )
R R
則稱隸屬度μ (x,y ) 為(x,y ) 關於模糊關係R 的相關程度。
R
這是二元模糊關係的數學定義，多元模糊關係也可以類似定義。
{ } { }
設U x ,x ,L,x ，V y ,y ,L,y ，R 為從從U 到V 的模糊關係，其
1 2 m 1 2 n
隸 屬 函 數 為 μ (x,y ) ， 對 任 意 的 (x ,y ) ∈U ×V 有 μ (x ,y ) r ∈[0,1] ，
R i j R i j ij
i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，記R (r ) ，則R 就是所謂的模糊矩陣。下面給出一
ij m×n
般的定義。
定義 5 設矩陣R (r ) ，且r ∈[0,1] ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，則R 稱
ij m×n ij
為模糊矩陣。
特別地，如果rij ∈{0,1} ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，則稱R 為布爾(Bool)矩陣。
當模糊方陣R (r ) 的對角線上的元素r 都為 1 時，稱R 為模糊自反矩陣。
ij n×n ij
當 m 1 或 者 n 1 時 ， 相 應 地 模 糊 矩 陣 為 R (r ,r ,L,r ) 或 者
1 2 n
R (r ,r ,L,r )T ，則分別稱為模糊行向量和模糊列向量。
1 2 n
模糊矩陣的運算及其性質
模糊矩陣間的關係及並、交、余運算
定義 6 設A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩陣，
ij m×n ij m×n
定義
i) 相等：
A B ⇔a b ；
ij ij
ii) 包含：
A ≤B ⇔a ≤b ；
ij ij
iii) 並：
A UB (a ∨b ) ；
ij ij m×n
iv) 交：
A IB (a ∧b )
ij ij m×n
v) 余：
AC (1−a )
ij m×n
⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0
⎞ ⎞
模糊矩陣的合成
定義 7 設A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，稱模糊矩陣
A oB (c )
ij m×n
為A 與B 的合成，其中
{ }
cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s
⎛ 1 0.7⎞
⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟
模糊矩陣的轉置
定義 8 設A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，稱AT (aT ) 為A 的轉
ij m×n ji n×m
置矩陣，其中aT a 。
ji ij
(4) 模糊矩陣的λ−截矩陣
定義 9 設A (a ) ，對任意的λ∈[0,1] ，
ij m×n
i) 令
1, a ≥λ
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a <λ
⎪⎩ ij
則稱Aλ (a(λ) ) 為模糊矩陣A 的λ截矩陣。
ij m×n
ii) 令
1, a >λ
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a ≤λ
⎪⎩ ij
則稱 (λ) λ
Aλ (aij )m×n 為模糊矩陣A 的 強截矩陣。
·
顯然，對於任意的λ∈[0,1] , λ截矩陣是布爾矩陣。
⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟
模糊矩陣的一個性質
性質 設A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩陣(對角線上的元
ij m×n
素 I
rij 都為 1 的模糊矩陣)， 是n 階單位矩陣，則
I ≤R ≤R 2
證：因為A (a ) 是模糊自反矩陣，即有rii 1，所以I ≤R ，又
ij m×n
{ }
max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij
即有R ≤R 2 。
