簡介
閉曲面是指沒有邊界點的緊緻連通2維實流形（曲面）。它分為可定向曲面與不可定向曲面。封閉的表面是緊湊且沒有邊界的表面。 示例是像球體，環面和克萊恩瓶子這樣的空間。
非封閉表面的示例是：開放盤，其是具有穿刺的球體；圓柱體，是具有兩個穿刺的球體；和莫比斯（Möbius）地帶。 與任何封閉的歧管一樣，嵌入歐氏空間的表面相對於繼承的歐氏距離拓撲結構並不一定是封閉的表面，例如，嵌入三維空間中的包含其邊界的磁碟是一個拓撲關閉但不是封閉表面的曲面。
分類
封閉表面的分類定理表明，任何連線的封閉表面與這三族之一的某些成員是同構的：
1.球體；
閉曲面2.g的連線總和，g1；
閉曲面3.k個實際投影平面的連線總和，k1。
前兩個族的表面是可取向的。通過將球體作為0 tori的相關和來組合兩個族是方便的。涉及的tori數量被稱為表面屬。球體和環面分別具有歐拉特徵2和0，通常，連線總和的歐拉特性為2-2g。
第三族的表面是無方向性的。實際投影平面的歐拉特徵為1，一般來說，它們的k的連線和的歐拉特徵為2-k。
因此，通過兩條信息確定封閉的表面，它的歐拉特徵，以及它是否可定向。換句話說，歐拉特徵和定向性將封閉的表面完全分類到同胚。
具有多個連線部件的閉合表面按其每個連線部件的類別分類，因此通常假定表面連線。
單結構
將這種分類與相關數相關聯，直到同胚的封閉表面在相互聯合的運算下形成一個可交換的單體，實際上做了任何固定維度的分歧。身份是球體，而真正的投影平面和環面則產生一個單一的關係P#P#P = P#T，也可以寫為P#K = P#T，因為K = P#P。這個關係有時被稱為瓦爾特·馮·戴克（Walther von Dyck）之後的Dyck定理，他在（Dyck 1888）中證明了這一點，三重交叉表面P#P#P被稱為Dyck表面。
在幾何上，與環面（#T）的連線加上一個手柄，兩端連線在表面的同一側，而與克萊恩瓶（#K）的連線加上手柄，兩端連線到相對側的可定向表面；在投影平面（#P）的存在下，表面不可取向（沒有側面概念），所以在連線環和連線克萊因瓶之間沒有區別，這說明了關係。
邊界表面
緊湊的表面，可能有邊界，是簡單的封閉表面，有限數量的孔（已經拆除的打開的光碟）。因此，連線的緊湊表面通過邊界分量的數量和相應的封閉表面的類別等效地分類為邊界分量的數量，定向性和歐拉特性。緊湊表面的屬被定義為相應封閉表面的屬。
這種分類幾乎立即從封閉表面的分類開始：從閉合的表面中去除開放的圓盤，產生具有用於邊界分量的圓的緊湊的表面，並且去除k個開放圓盤產生具有用於邊界分量的k個不相交圓的緊湊的表面。孔的精確位置是無關緊要的，因為同胚組在至少2個維度的任何連線的歧管上k過渡。
相反，緊湊表面的邊界是閉合的1歧管，因此是有限數量的圓的不相交的結合;用圓盤填充這些圓（正式，取錐）產生封閉的表面。
閉曲面例如在映射類組的研究中，屬性g和k邊界分量的獨特緊湊的可定向表面通常表示為。
黎曼表面
緊湊型2歧管的分類的例子是緊湊的黎曼表面的分類，即緊湊的複合1歧管。 （注意，2球和環面都是複雜的歧管，實際上是代數變數。）由於每個複雜的歧管都是可定向的，所以投影平面的連線和不是複雜的歧管。 因此，緊湊的黎曼表面的拓撲結構簡單地以其屬為特徵。 該屬的數量是歧管中的孔數：球體屬於0，單孔圓環屬1等。
非緊湊表面
非緊湊的表面更難分類。作為一個簡單的例子，通過從閉合的歧管中穿刺（去除有限的一組點）可以獲得非緊湊的表面。另一方面，緊湊表面的任何開放子集本身就是非緊湊的表面;考慮例如在球體中設定的Cantor的補碼，也稱為Cantor樹表面。然而，並非每個非緊湊表面都是緊湊表面的子集;兩個規範的反例是雅各布的梯子和尼斯湖怪物，它們是無限屬性的非緊湊表面。
閉曲面
閉曲面 閉曲面 閉曲面不緊湊的表面M具有端部E（M）的非空的空間，其非正式地描述表面“到達無窮遠”的方式。空間E（M）總是在拓撲等價於Cantor集合的閉合子空間。 M可以具有有限或可數的無限數量的手柄，以及有限或可數無限數量的投影平面。如果和都是有限的，那么這兩個數字和末端空間的拓撲類型將表面M分類到拓撲等價性。如果和中的任一個都是無窮大的，則M的拓撲類型不僅取決於這兩個數字，而且還取決於無限個數如何接近末端的空間。通常，M的拓撲類型由E（M）的四個子空間決定，它們是無限多個句柄和無限多個投影平面的極限點，僅限句柄的限制點，僅投影平面的極限點和兩個極限點。
證明
封閉式表面的分類自19世紀60年代以來已經知道，而今天還有許多證據。
拓撲和組合證明一般依賴於每個緊湊型二維歧管與單一複雜的同構物的困難結果，這是本身感興趣的。 最常見的分類證明是（Seifert&Threlfall 1934），將每個三角形表面都標準化。 約翰·康威（John H. Conway）在1992年發現了一個避免標準形式的簡化證據，他稱之為“零無證據”或“ZIP證明”，並在（Francis&Weeks 1999）中提出。
產生更強的幾何結果的幾何證明是均勻定理。 這最初僅由Felix Klein，Paul Koebe和HenriPoincaré在1880年代和1900年代的黎曼表面證明。
