簡介
替換定理 替換定理設線性無關的向量組
替換定理可由向量組
替換定理
替換定理線性表示,則m簇t，並且可從 中選出t一m個向量，使得向量組
替換定理與向量組(2)等價。
上述定理通常稱為替換定理。
證明
方法一
設向量組(2)的極大無關組為
替換定理顯然r≤t，由於(1)可由(2)線性表示，故(4)也是
替換定理的一個極大無關組，又因
替換定理線性無關，故m≤r，又r≤t，從而m≤t。
替換定理因(5)的秩為r，顯然m≤r，適當選擇 可把(1)擴充為(5)的一個極大無關組。
替換定理 替換定理由於(4)，(7)均為(5)的極大無關組，故(4)與(7)等價，故(7)是(2)的極大無關組，從(2)中
替換定理之外選取 ，可得向量組
替換定理顯然，（8）和（2）等價。
方法二
替換定理由題設 ，得
替換定理若m>t，則
替換定理
替換定理
替換定理
替換定理必有非零解 ，(未知量個數大於方程個數，故也)。從而有 ，即 線性相關，這與題設矛盾，因此m≤t。
替換定理下證第二部分，設向量組(2)的秩為r，不防設 是(2)的極大無關組，則
替換定理 替換定理 替換定理 替換定理
替換定理
替換定理
替換定理 替換定理 替換定理
替換定理
替換定理由上述證明可知必有m≤t，由於 線性無關，故由(4)中 的係數組成的矩陣 的秩必為m，故它一定存在一個m階子式不為0，不防設它的前m列構成的m階子式不為0，由此易知 可由 線性表示，故 與 等價，又因為是(2)的極大無關組，因此與等價。
