瑞士-法國數學家施圖姆（C.-F.Sturm）和法國數學家劉維爾（J.Liouville）由源於熱傳導和弦振動的數學物理問
《微分方程所定義的積分曲線》內容簡介
微分方程定義下的積分曲線與無切曲線的關係就類似於等式與不等式的關係。當解等式較難時，可以用不等式的解來界定等式的解。龐加萊沒有直接確定積分曲線，而是利用無切環確定出極限環，從而獲得微分方程解的基本性態。
法國科學院院士阿達瑪（J.Hadamard）在《亨利·龐加萊的科學工作》一書中稱無切環概念為“非積分”，以便與微分方程的“積分”相對比，正如不等式與等式的關係。“無切環”與“無切弧”等概念是龐加萊對實域定性理論引入的主要工具，是將等式轉為不等式的研究、將分析工具轉為幾何工具的體現。
龐加萊將定性理論套用到微分方程解的研究中，引發了一系列理論研究的新變革、新突破，同時也使人們對定性思想的認識提升到了新的高度。
與恩里克斯研究思想的比較
定性理論誕生初期並未受到廣泛的重視。人們對龐加萊的工作存在兩種看法。一派認為他是一個徹頭徹尾的“革新者”，大量引入幾何方法，用定性分析代替定量分析，完全摒棄經典決定論，動搖了經典理論的根基。另一派則認為，他在廣泛使用幾何方法的同時，仍堅持以分析為研究基礎，並沒有放棄解的傳統定量分析，定性研究和幾何方法只不過是傳統方法的擴充。
當時盛行的定性分析觀點是義大利數學家恩里克斯（F.Enriques）晚於龐加萊幾年提出的，即定性分析應當徹底取代19世紀數學與數學物理中特有的分析/定量思想，體現綜合化的幾何觀念[7]。
恩里克斯是義大利代數幾何學派的主要代表人物，研究代數曲面理論，發展了代數幾何方法，並發現了許多新的事實[9]。
20世紀初，以相對論為代表的物理研究取得重大突破，經典物理根深蒂固的觀念被徹底修正[10]，自然科學研究進入了一個反思變革的新時期。在這一氛圍下，恩里克斯的幾何觀念顯得尤為新穎。他認為，幾何應當從研究中分離出來，成為一個獨立的系統，而且只有幾何才能擔當描述、解釋力學和物理現象的角色，取代分析在數學中的傳統地位，在當代科學綜合化、定性化的過程中發揮主導作用。恩里克斯提出的幾何與分析的和諧一致，實質仍是以幾何為主導。這與龐加萊的分析為主、幾何為輔的觀點形成了鮮明的對立。
