智慧數性質
比如：2^2-1^2=3,3就是智慧數。
命題
形如2k+1或4k的形式必為智慧數，智慧數的形式必為2k+1或4k的形式，k≥0。
以下給予推導證明：
令P=a^2 -b^2（P、a、b均為正整數）
1、若a=2m（m≥1），b=2n（n≥1）
則P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2)，此時P為4k形式。
2、若a=2m（m≥1），b=2n+1（n≥0）
則P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1，此時P為4k -1形式。
3、若a=2m+1（m≥1），b=2n（n≥1）
則P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1，此時P為4k+1形式。
4、若a=2m+1（m≥1），b=2n+1（n≥0）
則P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n)，此時P為4k形式。
又易知4k -1，4k+1包括了所有的奇數，即（4k+1）∪（4k -1）=2k+1
故P為2k+1或4k的形式，即智慧數為2k+1或4k的形式
又2k+1=（k+1）^2 –k^2，
4k=（k+1）^2 –(k-1)^2
故形如2k+1或4k的形式必為智慧數。
5.驗證2687是否為智慧數
∵2687為奇數∴設2687=2k+1（k為正整數）
∴k=1343∴2687=1344²-1343²∴2687是智慧數
命題得證
自然數列中最小的智慧數是0，第2個智慧數是1，第3個智慧數是3，依次是0，1，3，4，5， 7， 8; 9, 11, 12; 13, 15, 16; 17, 19, 20······ 即按一個4的倍數，2個奇數，三個一組地依次排列下去。
像5^2-3^2=16,16就是智慧數。
公式
非智慧數：N/4+2
智慧數：N-(N/4+2)
第2012個智慧數
2012-1÷3+1×4+1=2685
