百科名片
隨著計算機和計算方法的飛速發展，幾乎所有學科都走向定量化和精確化，從而產生了一系列計算性的學科分支，如計算物理、計算化學、計算生物學、計算地質學、計算氣象學和計算材料學等，計算數學中的數值計算方法則是解決“計算”問題的橋樑和工具。我們知道，計算能力是計算工具和計算方法的效率的乘積，提高計算方法的效率與提高計算機硬體的效率同樣重要。科學計算已用到科學技術和社會生活的各個領域中。數值計算方法是微分方程，常微分方程，線性方程組的求解。
數值計算方法，是一種研究並解決數學問題的數值近似解方法， 是在計算機上使用的解數學問題的方法，簡稱計算方法。
在科學研究和工程技術中都要用到各種計算方法。 例如，在航天航空、地質勘探、汽車製造、橋樑設計、 天氣預報和漢字字樣設計中都有計算方法的蹤影。
計算方法既有數學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性的技術特徵， 計算方法是一門理論性和實踐性都很強的學科。 在70年代，大多數學校僅在數學系的計算數學專業和計算機系開設計算方法這門課程。 隨著計算機技術的迅速發展和普及， 現在計算方法課程幾乎已成為所有理工科學生的必修課程。
計算方法的計算對象是微積分，線性代數，常微分方程中的數學問題。 內容包括：插值和擬合、數值微分和數值積分、求解線性方程組的直接法和疊代法、 計算矩陣特徵值和特徵向量和常微分方程數值解等問題。
簡介
數值分析的目的是設計及分析一些計算的方式，可針對一些問題得到近似但夠精確的結果。以下是一些會用利用數值分析處理的問題：數值天氣預報中會用到許多先進的數值分析方。計算太空船的軌跡需要求出常微分方程的數值解。汽車公司會利用電腦模擬汽車撞擊來提升汽車受到撞擊時的安全性。電腦的模擬會需要求出偏微分方程的數值解。對沖基金會利用各種數值分析的工具來計算股票的市值及其變異程度。航空公司會利用複雜的最佳化算法決定票價、飛機、人員分配及用油量。此領域也稱為作業研究。保險公司會利用數值軟體進行精算分析。計算太空船的軌跡需要求出常微分方程的數值解。直接疊代法
直接法利用固定次數的步驟求出問題的解。這些方式包括求解線性方程組的高斯消去法及QR算法（英語：QR algorithm），求解線性規劃的單純形法等。若利用無限精度算術的計算方式，有些問題可以得到其精確的解。不過有些問題不存在解析解（如五次方程），也就無法用直接法求解。在電腦中會使用浮點數進行運算，在假設運算方式穩定的前提下，所求得的結果可以視為是精確解的近似值。疊代法是通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題的數學過程。和直接法不同，用疊代法求解問題時，其步驟沒有固定的次數，而且只能求得問題的近似解，所找到的一系列近似解會收斂到問題的精確解。會利用審斂法來判別所得到的近似解是否會收斂。一般而言，即使使用無限精度算術的計算方式，疊代法也無法在有限次數內得到問題的精確解。
在數值分析中用到疊代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法（GMRES）及共軛梯度法等。在計算矩陣代數中，大型的問題一般會需要用疊代法來求解。
離散化
許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題，而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解，此轉換過程稱為離散化。例如求一個函式的積分是一個連續模型的問題，也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分，就變成將上述面積用許多較簡單的形狀（如長方形、梯形）近似，因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。例如在二小時的賽車比賽中，記錄了三個不同時間點的賽車速度，如下表：
| 時間 | 0:20 | 1:00 | 1:40 |
|---|
| km/h | 140 | 150 | 180 |
|---|
利用離散化的方式，可以假設賽車在0:00到0:40之間的速度、0:40到1:20之間的速度及1:20到2:00之間的速度分別為三個定值，因此前40分鐘的總位移可近似為(2/3h × 140 km/h) = 93.3 公里。可依此方式近似二小時內的總位移為93.3 公里 + 100 公里 + 120 公里 = 313.3 公里。位移是速度的積分，而上述的作法是用黎曼和（英語：Riemann sum）進行數值積分的一個例子。
出版社圖書
圖書信息
書 名: 數值計算方法作 者：黃雲清
出版社： 科學出版社
出版時間： 2010年7月13日
ISBN: 9787030234285
開本： 16開
定價: 34.00元
內容簡介
《數值計算方法》為“科學計算及其軟體教學叢書”之一，為普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。主要內容包括函式的數值逼近(代數插值與函式的最佳逼近)、數值積分與數值微分、數值代數(線性代數方程組的解法與矩陣特徵值問題的計算)、非線性(代數與超越)方程的數值解法、最最佳化方法以及常微分方程(初、邊值問題)數值解法。除以上基本內容之外，《數值計算方法》還介紹了廣泛套用於實際問題的隨機統計方法之一——蒙特卡羅(Monte carlo)方法。以及當今求解大規模科學工程計算問題最有效的算法之一的多層格線法，以便讀者參考。通過對它們的討論，使讀者掌握設計數值算法的基本方法，為在計算機上解決科學計算問題打好基礎。《數值計算方法》可以作為信息與計算科學、數學與套用數學專業本科生以及計算機專業、通信工程等工科類本科生及研究生的教材，也可供從事數值計算研究的相關工作人員參考使用。
圖書目錄
第1章 引論1.1 數值計算方法和它的主要內容
1.2 計算機中數的浮點表示
1.3 誤差的基本概念
1.4 算法的數值穩定性
習題1
第2章 函式基本逼近（一）——插值逼近
2.1 引言
2.2 Lagrange插值
2.3 Hermite插值
2.4 誤差分析
2.5 分段低次多項式插值
*2.6 B樣條函式與樣條插值
習題2
第3章 函式基本逼近（二）——最佳逼近
3.1 最佳逼近問題的提出
3.2 線性賦范空間的最佳逼近及存在性定理
3.3 最佳一致逼近多項式
3.4 最小偏差於零的多項式——Chebyshev多項式
3.5 內積空間的最佳逼近
3.6 最佳平方逼近與正交多項式
3.7 數據擬合的最小二乘法
3.8 周期函式的最佳逼近與快速Fourier變換
習題3
第4章 數值積分與數值微分
4.1 引言
4.2 Newton-Cotes求積公式
4.3 復化求積公式
4.4 基於復化梯形公式的高精度求積算法
4.5 Gauss型求積公式
4.6 奇異積分計算
4.7 數值微分
習題4
第5章 線性代數方程組求解
5.1 預備知識
5.2 Gauss消去法、矩陣分解
5.3 擾動分析、Gauss消去法的捨入誤差
5.4 疊代方法
5.5 共軛梯度法
5.6 預條件共軛梯度法
習題5
第6章 矩陣特徵值問題的解法
6.1 特徵值問題及相關結果
6.2 乘冪法與反乘冪法
6.3 約化矩陣的Householder方法
6.4 0R方法
6.5 實對稱矩陣特徵值問題的解法
習題6
第7章 非線性方程的數值解法
7.1 二分法
7.2 簡單疊代法
7.3 Newton類疊代方法
7.4 非線性方程組
習題7
第8章 常微分方程數值解法
8.1 引論
8.2 Euler方法
8.3 線性多步法
8.4 線性多步法的進一步討論
8.5 Runge-Kutta方法
8.6 剛性問題簡介
8.7 邊值問題的數值方法
習題8
第9章 MonteCarlo方法簡介
9.1 基本原理
9.2 隨機數和隨機抽樣
9.3 MonteCarlo方法套用舉例
第10章 最最佳化方法
10.1 線性規劃問題及單純形方法
10.2 無約束非線性最佳化問題及最速下降法
10.3 幾個線性規劃問題的實例
習題10
第11章 多層格線法
11.1 兩點邊值問題及其有限差分離散
11.2 Richardson疊代法
11.3 兩層格線法
11.4 多層格線法
11.5 完全多層格線法
11.6 程式設計與工作量估計
參考文獻
清華大學出版社圖書1
圖書信息
書名：數值計算方法ISBN：9787302182382
作者：呂同富、康兆敏、方秀男
定價：32元
出版日期：2008-10-1
出版社：清華大學出版社
圖書簡介
本書介紹了數值計算方法．內容涉及數值計算方法的數學基礎、數值計算方法在工程、科學和數學問題中的套用以及所有數值方法的MATLAB 程式等，涵蓋了經典數值分析的全部內容．包括：非線性方程的數值解法；線性方程組的數值解法；矩陣特徵值與特徵向量的數值算法；插值方法；函式最佳逼近；數值積分；數值微分；常微分方程數值解法等．基於MATLAB是本書的特色，對書中所有的數值方法都給出了MATLAB程式，有大量詳實的套用實例可供參考，有相當數量的習題可供練習．本書取材新穎、闡述嚴謹、內容豐富、重點突出、推導詳盡、思路清晰、深入淺出、富有啟發性，便於教學與自學．
目錄
第1章 序論 11.1 科學計算的一般過程 1
1.1.1 對實際工程問題進行數學建模 1
1.1.2 對數學問題給出數值計算方法 1
1.1.3 對數值計算方法進行程式設計 1
1.1.4 上機計算並分析結果 2
1.2 數值計算方法的研究內容與特點 2
1.2.1 數值計算方法的研究內容 2
1.2.2 數值計算方法的特點 2
1.3 計算過程中的誤差及其控制 5
1.3.1 誤差的來源與分類 5
1.3.2 誤差與有效數字 6
1.3.3 誤差的傳播 8
1.3.4 誤差的控制 9
1.3.5 數值算法的穩定性 11
1.3.6 病態問題與條件數 11
習題1 12
第2章 非線性方程的數值解法 13
2.1 二分法 13
2.1.1 二分法的基本思想 13
2.1.2 二分法及MATLAB 程式 13
2.2 非線性方程求解的疊代法 17
2.2.1 疊代法的基本思想 17
2.2.2 不動點疊代法及收斂性 17
2.2.3 疊代過程的加速方法 23
2.2.4 Newton-Raphson方法 31
2.2.5 割線法與拋物線法 40
2.3 非線性方程求解的MATLAB 函式 43
2.3.1 MATLAB中求方程根的函式 43
2.3.2 用MATLAB中的函式求方程的根 43
習題2 44
第3章 線性方程組的數值解法 47
3.1 向量與矩陣的範數 47
3.1.1 向量的範數 47
3.1.2 矩陣的範數 49
3.1.3 方程組的性態條件數與攝動理論 52
3.2 直接法 54
3.2.1 Gauss 消去法及MATLAB程式 54
3.2.2 矩陣的三角(LU) 分解法 66
3.2.3 矩陣的Doolittle 分解法及MATLAB程式 68
3.2.4 矩陣的Crout 分解法 73
3.2.5 對稱正定矩陣的Cholesky分解及MATLAB程式 75
3.2.6 解三對角方程組的追趕法及MATLAB程式 79
3.3 疊代法 81
3.3.1 疊代法的一般形式 81
3.3.2 Jacobi 疊代法及MATLAB程式 82
3.3.3 Gauss-Seidel 疊代法及MATLAB程式 85
3.3.4 超鬆弛疊代法及MATLAB程式 90
3.3.5 共軛梯度法及MATLAB程式 93
3.4 疊代法的收斂性分析 97
3.4.1 疊代法的收斂性 98
3.4.2 疊代法的收斂速度與誤差分析 99
習題3 100
第4章 矩陣特徵值與特徵向量的數值算法 104
4.1 預備知識 104
4.1.1 Householder變換和Givens變換 104
4.1.2 Gershgorin圓盤定理 107
4.1.3 QR分解 108
4.2 乘冪法和反冪法 109
4.2.1 乘冪法及MATLAB程式 109
4.2.2 乘冪法的加速 114
4.2.3 反冪法及MATLAB程式 116
4.3 Jacobi方法(對稱矩陣) 118
4.3.1 Jacobi方法及MATLAB程式 118
4.3.2 Jacobi 方法的收斂性 121
4.4 Householder方法 122
4.4.1 一般實矩陣約化為Hessenberg矩陣 122
4.4.2 實對稱矩陣的三對角化 125
4.4.3 求三對角矩陣特徵值的二分法 125
4.4.4 三對角矩陣特徵向量的計算 126
4.5 QR 方法 127
4.5.1 基本的QR 方法 127
4.5.2 QR 方法的收斂性 129
4.5.3 帶原點位移的QR 方法 131
4.5.4 單步QR 方法計算上Hessenberg矩陣特徵值 132
4.5.5 雙步QR方法 132
4.6 基於MATLAB 的QR 分解 132
習題4 133
第5章 插值方法 136
5.1 插值多項式及存在唯一性 136
5.1.1 插值多項式的一般提法 136
5.1.2 插值多項式存在唯一性 137
5.2 Lagrange 插值 138
5.2.1 Lagrange 插值多項式 138
5.2.2 線性插值與拋物線插值 139
5.2.3 Lagrange 插值的MATLAB程式 140
5.2.4 Lagrange插值餘項與誤差估計 142
5.3 Aitken 和Neville 插值 144
5.3.1 Aitken 逐步線性插值 145
5.3.2 Neville 逐步線性插值 145
5.4 差商與Newton 插值 145
5.4.1 差商及其性質 146
5.4.2 Newton 插值多項式 147
5.4.3 Newton插值餘項與誤差估計 149
5.4.4 Newton 插值的MATLAB程式 149
5.5 差分與等距節點的Newton 插值 151
5.5.1 差分及其性質 151
5.5.2 等距節點Newton插值多項式 153
5.5.3 等距節點Newton 插值的MATLAB程式 154
5.6 Hermite 插值 156
5.7 分段低次插值 158
5.7.1 高次插值的Runge 現象及MATLAB程式 158
5.7.2 分段線性插值及MATLAB程式 159
5.7.3 分段三次Hermite 插值及MATLAB程式 162
5.8 三次樣條插值 165
5.8.1 三次樣條函式 165
5.8.2 三轉角插值函式(方程) 及MATLAB程式 168
5.8.3 三彎矩插值函式(方程) 及MATLAB程式 171
5.8.4 三次樣條插值函式的收斂性 174
5.9 B-樣條插值 175
5.9.1 m次樣條函式 175
5.9.2 B-樣條函式 176
5.9.3 B-樣條函式的性質 177
習題5 178
第6章 函式最佳逼近 180
6.1 正交多項式 180
6.1.1 正交函式族180
6.1.2 幾個常用的正交多項式 181
6.2 最佳一致逼近 187
6.2.1 一致逼近的概念 187
6.2.2 最佳一致逼近多項式 191
6.2.3 最佳一致逼近多項式的計算 196
6.2.4 最佳一致逼近三角多項式 197
6.3 最佳平方逼近 200
6.3.1 平方度量與平方逼近 200
6.3.2 最佳平方逼近 201
6.4 正交多項式的逼近性質 204
6.4.1 用正交多項式作最佳平方逼近 204
6.4.2 用正交多項式作最佳一致逼近 205
6.5 Fourier 級數的逼近性質 208
6.5.1 最佳平方三角逼近 208
6.5.2 最佳一致三角逼近 209
6.5.3 快速Fourier變換 213
6.6 有理函式逼近 217
6.6.1 連分式逼近 217
6.6.2 Pade逼近 218
6.7 曲線擬合的最小二乘法及MATLAB程式 220
6.7.1 曲線擬合的最小二乘法 220
6.7.2 曲線擬合最小二乘法的MATLAB程式 221
習題6 222
第7章 數值積分 224
7.1 機械求積公式 224
7.1.1 數值積分的基本思想 224
7.1.2 待定係數法 225
7.1.3 插值型求積公式 226
7.1.4 求積公式的收斂性與穩定性 227
7.2 Newton-Cotes 求積公式 228
7.2.1 Newton-Cotes求積公式的一般形式 228
7.2.2 兩種低階的Newton-Cotes求積公式 229
7.2.3 誤差估計 230
7.2.4 Newton-Cotes求積公式的MATLAB程式 232
7.3 複合求積公式 232
7.3.1 複合梯形求積公式及MATLAB程式 233
7.3.2 複合Simpson求積公式及MATLAB程式 234
7.3.3 複合Cotes 求積公式及MATLAB程式 235
7.4 變步長求積公式 236
7.4.1 變步長梯形求積公式及MATLAB程式 236
7.4.2 自適應Simpson 求積公式及MATLAB程式 238
7.5 Romberg 求積算法 241
7.5.1 Romberg 求積公式 241
7.5.2 Romberg 求積算法的MATLAB程式 243
7.6 Gauss 求積公式 244
7.6.1 Gauss 求積公式的構造 245
7.6.2 5 種Gauss 型求積公式 247
7.6.3 Gauss 求積公式及MATLAB程式 252
7.7 MATLAB 中的數值積分函式 254
7.7.1 MATLAB 數值積分函式 254
7.7.2 套用實例 255
習題7 256
第8章 數值微分 259
8.1 中點方法 259
8.1.1 微分中點數值算法 259
8.1.2 微分中點數值算法誤差分析 259
8.2 利用插值方法求微分 260
8.2.1 插值型求導方法 260
8.2.2 常用插值型求數值微分公式 261
8.3 利用數值積分求微分 262
8.3.1 矩形積分方法 262
8.3.2 Simpson 積分方法 263
8.4 利用三次樣條求微分 264
8.5 外推法在數值微分中的套用 264
習題8 265
第9章 常微分方程數值解法 266
9.1 數值解法的構造途徑 266
9.1.1 數值解法的基本思想 266
9.1.2 差商逼近法 267
9.1.3 數值積分法 267
9.1.4 Taylor 展開法 268
9.2 Euler 方法及其改進 269
9.2.1 Euler方法及MATLAB程式 269
9.2.2 改進的Euler 方法及MATLAB程式 271
9.2.3 預估-校正方法 277
9.2.4 公式的截斷誤差 278
9.3 Runge-Kutta 方法 278
9.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想 278
9.3.2 二階Runge-Kutta 方法 279
9.3.3 三階與四階Runge-Kutta方法及MATLAB程式 281
9.3.4 變步長的Runge-Kutta方法及MATLAB程式 283
9.4 單步法的相容性、收斂性與穩定性 287
9.4.1 相容性 287
9.4.2 收斂性 288
9.4.3 穩定性 291
9.5 線性多步法 293
9.5.1 線性多步法的一般公式 294
9.5.2 Adams 顯式及隱式公式 295
9.5.3 Milne方法與Simpson方法 297
9.5.4 Hamming 方法 298
9.5.5 預估-校正方法 298
9.6 微分方程組與高階微分方程數值解 300
9.6.1 一階微分方程組 300
9.6.2 高階微分方程 301
9.6.3 剛性方程 302
9.7 求微分方程數值解的MATLAB函式 303
9.7.1 MATLAB中微分方程數值解函式 303
9.7.2 套用實例 304
習題9 305
部分習題答案 308
參考文獻 313
清華大學出版社圖書2
圖書信息
書名：數值計算方法ISBN：9787302232827
作者：鄭成德、李志斌、王國燦、孫日明
定價：26元
出版日期：2010-8-1
出版社：清華大學出版社
圖書簡介
本書是根據理工科數學“數值計算方法課程教學基本要求”，為普通高校理工科各專業本科生和工科各專業碩士研究生編寫的教材. 介紹了電子計算機上常用的數值計算方法以及有關的基本概念與基本理論，內容包括：非線性方程與線性方程組的數值解法、插值與逼近、數值積分與數值微分、常微分方程數值解法、矩陣的特徵值與特徵向量計算. 每章均配有一定量的習題，部分例題附有MATLAB源程式，一些算法給出了框圖，書末附有部分習題參考答案. 本書敘述簡明，注意深入淺出，言簡意賅；淡化嚴格論證，削弱運算技巧；突出重點，循序漸進.本書可作為普通高校理工科本科和工科碩士研究生各專業“數值計算方法”或“數值分析”教材，也可供從事科學與工程計算的科技工作者和研究人員參考.
目錄
目 錄緒論1第1章 基本概念與數學軟體MATLAB簡介31.1 誤差的來源與誤差分析的重要性31.2 誤差的概念與誤差的傳播5
1.3 數值運算中應注意的幾個原則8
1.4 數學軟體MATLAB簡介10
小結16
習題116
第2章 解線性方程組的直接方法18
2.1 高斯消去法19
2.2 高斯列主元素消去法23
2.3 矩陣分解在解線性方程組中的套用27
2.4 向量與矩陣的範數39
2.5 誤差分析41
小結43
習題244
第3章 解線性方程組的疊代法45
3.1 簡單疊代法45
3.2 雅可比疊代法49
3.3 高斯-塞德爾疊代法52
3.4 逐次超鬆弛疊代法56
小結 60
習題361
第4章 插值與擬合63
4.1 引言63
4.2 拉格朗日插值65
4.3 差商與牛頓插值70
4.4 差分與等距節點插值74
4.5 埃爾米特插值78
4.6 分段低次插值80
4.7 三次樣條插值82
4.8 曲線擬合的最小二乘法86
小結89
習題4 91
第5章 函式逼近與計算94
5.1 最佳一致逼近多項式94
5.2 函式的最佳平方逼近97
5.3 用正交多項式作最佳平方逼近101
5.4 有理逼近108
小結113
習題5113
第6章 數值積分與數值微分115
6.1 引言115
6.2 牛頓-柯特斯公式118
6.3 龍貝格算法124
6.4 高斯公式130
6.5 數值微分136
小結139
習題6140
第7章 非線性方程求解142
7.1 二分法142
7.2 疊代法146
7.3 牛頓法152
7.4 弦截法157
小結158
習題7158
第8章 常微分方程數值解法160
8.1 引言160
8.2 歐拉方法162
8.3 改進的歐拉方法166
8.4 龍格-庫塔方法170
8.5 單步法的收斂性與穩定性178
8.6 線性多步法182
8.7 微分方程組與高階微分方程的數值解法189
8.8 微分方程邊值問題的數值解法194
小結 196
習題8197
第9章 矩陣的特徵值與特徵向量計算200
9.1 冪法與反冪法200
9.2 對稱矩陣的雅可比方法208
9.3 豪斯霍爾德方法214
9.4 QR算法218
小結223
習題9223
附錄 部分習題參考答案226
參考文獻233
數值計算方法