拋物線弦長公式
定理直線y=kx+b(k≠0）被拋物線y2=2Px截得的弦AB的長度為∣AB∣=①
證明由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0
∴y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
當直線y=kx+b(k≠0）過焦點時，b=－，代入①得∣AB∣=P（1+k2），
於是得出下面推論：
推論
推論1過焦點的直線y=kx－（k≠0）被拋物線y2=2Px截得的弦AB的長度為
∣AB∣=P（1+k2）②
在①中，由容易得出下面推論：
推論2己知直線l:y=kx+b(k≠0）及拋物線C:y2=2Px
Ⅰ）當P>2bk時，l與C交於兩點（相交）;
Ⅱ）當P=2bk時，l與C交於一點（相切）；
Ⅲ）當P<2bk時，l與C無交點（相離）.
下面介紹定理及推論的一些套用：
套用
例1求直線y=x+被拋物線y=x2截得的線段的長?分析：題中所給方程與定理中的方程形式不一致，可把x看成y用①即可.
解曲線方程可變形為x2=2y則P=1，直線方程可變形為x=y－，
即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2求直線2x+y+1=0到曲線y2－2x－2y+3=0的最短距離.
分析：可求與已知直線平行並和曲
線相切的直線，二直線間距離即為要求的最短距離.
解曲線可變形為（y－1）2=2(x－1）則P=1，由2x+y+1=0知k=－2.由推論2，令2bk=P，解得b=－.∴所求直線方
程為y－1=－2(x－1）－，即2x+y－=0.∴.
故所求最短距離為.
例3當直線y=kx+1與曲線y=－1有交點時，求k的範圍.
解曲線可變形為（y+1）2=x+1
（x≥－1,y≥－1），則P=1/2.直線相應地可變為y+1=k(x+1）－k+2，∴b=2-k.由推論2，令2bk≤P，即2k（2－k）≤，解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+時直線與曲線有交點.
註：曲線作怎樣變形，直線也必須作相應平移變形，否則會出現錯誤.
例4拋物線y2=2Px內接直角三角形，一直角邊所在直線為y=2x，斜邊長為5.求拋物線的方程.
解設直角三角形為AOB.由題設知kOA=2,kOB=－.由①，|OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2，得P=.∴拋物線方程為y2=x.
例5設O為拋物線的頂點，F為焦點，PQ為過的弦，己知∣OF∣=a，∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解以O為原點，OF為x軸建立直角坐標系（見圖），依題設條件，拋物線方程為y2=4ax(P=2a），設PQ的斜率為k，由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF=a|PF|sinθ+a|FQ|sin（π－θ）=absinθ=.
