強力數

，ψ(n ，有ψ(n m(n

定義

設 n 是大於1的自然數，d1，d2，。。，dm 是其所有正約數，用ψ(n)=1/d1+1/d2+....+1/dm 表示其所有正約數的倒數的和。如果對於任意小於 n 的自然數k ，ψ(n)>ψ(k) 恆成立，則稱 n 為強力數。最初的幾個強力數為 2，4，6，12，。。。

定理

強力數有無窮多個。
定理的證明：(反證法）假如強力數只有有限個 n1，n2，。。。，nm ，且 n1<n2<...<nm，則由定義，對任意正整數 n ，有ψ(n)<=ψ(nm) 。考察自然數 k=nm！=nm(nm-1)(nm-2)...*2*1 ，顯然有 ψ(k)>1+1/2+1/3+...+1/nm>ψ(nm) ，與 對任意自然數n，ψ(n)<=ψ(nm) 矛盾。因此，強力數有無數多個。

猜想

設 n1，n2，。。。，nm，。。。是所有的強力數，則無窮級數 ∑(m=1，∞) 1/nm 發散。