一、廣義冪函式的引入
連續相同加數的加法簡寫成乘法,比如5+5+5=5×3;6+6+6+6+6=6×5。連續相同乘數的乘法簡寫成冪函式,比如5×5×5=5^3;6×6×6×6×6=6^5。
那么,連續相同冪指函式的簡寫呢?比如5^(5^5)?比如6^(6^(6^(6^6)))?能不能繼續推廣?
可以繼續推廣,且相同的底數和指數的冪指函式可以簡寫為新的函式:
x^x=x^^2 ,這裡的“2”指的是有兩個x進行“^"運算,依次類推,x^(x^x)=x^^3 , x^(x^(x^x))=x^^4…… 那么,上述的5^(5^5)=5^^3;6^(6^(6^(6^6)))=6^^5。
那么,能不能繼續推廣?
繼續形式上推廣,即可得:
x^^x=x^^^2 , x^^(x^^x)=x^^^3,x^^(xx^^(x^^x))=x^^^4……
x^^^x=x^^^^2,x^^^(x^^^x)=x^^^^3,x^^^(x^^^(x^^^x))=x^^^^4……
這裡用“^”個數的不同,來區別簡寫的層次,“^”的個數稱為“階數”,後面的數字是次數。
為了降低高階高次書寫的繁瑣,用cuiMaP(bx,ix,cx,px)表示上述運算,其中bx是重複的底數(代碼b,上文中的x),ix是重複的次數稱指數(代碼i,上文中的N),cx是“^”的個數稱階數(代碼c),運算的值px稱為冪數(代碼p)。另一個建議的寫法是底數寫在左邊,指數寫在右上角,階數寫在右下角。
但是,這種定性的描述的缺點是:指數、底數、階數是正自然數的時候是便於理解的,至於當有的數不是正自然數的時候,就不那么顯然甚至是無定義的了。
二、廣義冪函式的定義
滿足以下條件的函式CuiMaP(bx,ix,cx,py)為cui冪函式(也稱為廣義冪函式):(1) CuiMaP(bx,ix,cx=1,py)=bx^ix;
(2) CuiMaP(bx,ix,cx,py2)=CuiMaP(bx,CuiMa(bx,ix-1,cx,py1),cx,py2);
(3) CuiMaP(bx,2,cx,py)=CuiMaP(bx,bx,cx-1,py);
其中,(1)給出了CuiMaP函式和冪指函式的關係,(2)和(3)是遞推公式:(2)給出了同階高次到低次的轉化公式,(3)給出了高階到低階的轉化公式。
三、CuiMa函式族的定義
在函式CuiMa(bx,ix,cx,px)中,以任意兩個為常數、一個A為自變數、另一個B為因變數的函式,稱為CuiMaBA函式。比如,以底數、指數為常數,以冪值為自變數、階數為因變數的函式稱為CuiCp函式。四、廣義冪指函式的假設
為了運算比如CuiMaP(256,0.5,2,py3)和CuiMaP(256,0.75,2,py4)之類的分數底數、指數,引入如下假設:CuiMaP(CuiMaP(bx,ix,cx,py1),1/ix,cx,py2)中某個bx=py2成立。
五、假定的套用
求解上述py3和py4的過程如下:因為4^4=256,所以CuiMaP(256,0.5,2,py3)中py3=4;
因為CuiMa(2,3,2,16),根據假設,所以CuiMa(16,1/3,2,2),根據定義,得CuiMa(16,4/3,2,256),再根據假設,所以CuiMa(256,3/4,2,16)成立。