平面圓型限制性三體問題
正文
限制性三體問題中比較簡單的、也是研究得最多的一種類型。它研究無限小質量體在兩個有限質量體的萬有引力作用下的運動規律，並假定兩個有限質量體在相互引力作用下繞其質量中心作圓周運動。如無限小質量體的初始位置和初始速度在兩個有限質量體的軌道平面內，則無限小質量體永遠在該軌道面內運動，這樣就成為平面圓型限制性三體問題，它是三體問題中最簡單的情況。取兩個有限質量體P1、P2的聯線為x軸（圖1）。設無限小質量體到P1、P2的距離分別為r1、r2，則相應於鏇轉坐標系的運動方程有一個首次積分：
，
式中v為無限小質量體的速度，x、y為其坐標，c為積分常數,m1、m2為P1、P2的質量。這就是著名的雅可比積分。當無限小質量體的速度為零時，上式就成為：
。
這是一個曲線方程，稱為零速度線，在空間情況下便是曲面，稱希爾曲面。根據小天體的初始位置和初始速度，可以確定積分常數c,也就確定了零速度線在鏇轉坐標系中的位置。當c的數值非常大時,它描繪出一條遠離原點的近於圓形的閉曲線S姈以及分別圍繞P1和P2的兩條很小的閉曲線S1；當c值逐漸減小時,外面的閉曲線也逐漸縮小，P1、P2附近的兩條小閉曲線則逐漸擴大;c值減小到一定程度時，兩條小閉曲線相遇，相遇的點L1稱為自交點。顯然，在自交點曲線的法線方向不確定，也就是奇點的情況。相遇時，裡面的曲線記為S2，外面的曲線記為S娦；當c繼續減小到一定程度時,裡面的曲線相遇後繼續擴大為一個閉曲線S3，並與不斷縮小的外面曲線S婭相遇於L2點；c再繼續減小,里外兩曲線變成一條閉曲線S4，在L3處自己相交；最後,當c再減小時曲線分裂成上下兩半，即S5；c再繼續減小到一定程度,S5就收縮成為兩個點，即L4和L5（圖2）。 以上五個點代表平面圓型限制性三體問題的運動方程的五個特解。這五個特解是由拉格朗日首先求得的，所以稱為拉格朗日特解，又稱平動解。它們都在兩個有限質量體所在的平面上，並與有限質量體保持固定的相對位置，這五個點稱為平動點。五個平動點中有兩個點對稱於x軸，並分別與P1、P2組成等邊三角形,習慣上表示為L4(y>0)和L5(y<0)。若無限小質量體的初始位置在L4或L5，而且相對於坐標系的初速為零，則小天體在兩個有限質量體的吸引下，隨著有限質量體一起作圓周運動，而且與P1、P2組成等邊三角形，永遠保持不變，因此，這兩個特解又稱為等邊三角形解。另外三個平動點在x軸上，L1位於P1和P2之間，L2位於P2的右邊，L3位於P1的左邊,它們相對於P1、P2都是固定點,具體位置與質量有關。由於L1、L2、L3與P1、P2在同一直線上,故稱為直線解。這些結果在空間情況中也同樣成立。在橢圓型限制性三體問題和更一般的三體問題中，也存在等邊三角形解和直線解,而且在太陽系中,已找到實際的例子。脫羅央群小行星的運動就是一個例子。這群小行星位於太陽、木星等邊三角形解附近，已經發現了15顆,其中10顆在平動點L4附近，5顆在平動點L5附近。直線解的例子還不可靠，有人認為，對日照就是聚集在太陽、地球的平動點L2附近的塵埃反射太陽光形成的。
1957年以後，平面圓型限制性三體問題在討論月球火箭運動理論中得到了套用，利用零速度面可以確定火箭飛向月球的最小速度。零速度面在討論運動區域時有重要意義，近年來還被用來研究雙星的演化。
