三體問題的積分
正文
一般三體問題的運動方程為十八階的常微分方程組。十八世紀時就已知十個首次積分，如果再能求出八個首次積分，則三體問題就能解決。1843年,雅可比指出,如果除兩個積分以外，其餘積分都已找出，則三體問題也可以解決。因此，尋找三體問題的新積分，就成為解決三體問題的重要途徑。對於一些特殊的三體問題，如平面圓型限制性三體問題，運動方程只有四階，已有一個雅可比積分，所以只要再求出一個新積分就可求解，但是，直到現在還未解決。1887年，布倫斯證明，如用坐標和速度分量作基本變數，則三體問題不存在新的代數積分（積分為變數的代數函式）。1889年，龐加萊又證明，如用軌道要素的組合作變數,則新的單值解析積分也不存在。1898年,潘勒韋進一步證明，表示為速度分量的代數函式形式的新積分也不存在。1941年，西格爾還證明，平面圓型限制性三體問題除雅可比積分外，不存在新的代數積分。儘管在尋找三體問題新積分的過程中出現了種種悲觀的結論，但這些結論都是有條件的，並不是絕對的。二十世紀五十年代以後，又提出了兩條研究三體問題新積分的途徑。
一條途徑是尋求級數形式的新積分。例如，1965年希臘康托普洛斯找到一個用級數表示的積分。這個積分展開為以平面圓型限制性三體問題中較小有限體的質量作為小參數的冪級數，級數的係數原則上可以逐步求出，但為求積形式。只是這個級數的收斂性還沒有證明，因此還不能正式成立。另一條途徑是用數值方法證明新積分是否存在，對平面圓型限制性三體問題已有初步結果。例如，沃齊斯等人用數值方法找到了假想積分同雅可比積分相交的曲面與坐標面的交線，被稱為不變曲線。根據不變曲線反證假想積分是存在的，但還未具體找到。
參考書目
Y.Hagihara,Celestial Mechanics,Vol.I,MIT Press, Cambridge, 1970.
