概念
數學中，術語“ 平凡”（“ 平凡的”）經常用於結構非常簡單的對象（比如群或拓撲空間），有時亦會用明顯或乏趣這兩個詞代替，但對非數學工作者來說，它們有時可能比其他更複雜的對象更難想像或理解。
例如：
•明顯因數：對於每個正整數 n 來說，1、-1、n 和 -n 都是它的明顯因數。
•空集：不包含任何元素的集合；
•平凡群：只含單位元的群；
•平凡環：定義於單元素集合的環。
定義
一般，Ax=0中的零解,即x=0，稱為 平凡解。
矩陣代數的中的定義，AX=0, 行列式|A|≠0, 則X只有平凡解X=0，無非平凡解.
因為任何線性空間的子空間都過零點，所以明顯的等於0的時候解是成立的，但這顯然沒什麼意義，說這個0解是平凡的。
通俗來講，如果方程組AX=0, 只有當X=0的時候才成立，就說方程組AX=0隻有平凡解（trivial solution），此時肯定有行列式|A| 不為零。相反如果方程組AX=0存在非零解，也就是說存在不為零的X也可以使方程組AX=0成立，則說方程組AX=0存在非平凡解（nontrivial solution），此時肯定有係數矩陣行列式的值|A|=0 。
平凡解例如，考慮微分方程：。
這裡 y= f( x) 為函式，其導數為 y′。
y= 0，0 函式是平凡解；
y(x) = e，指數函式是一個非平凡解。
平凡解
平凡解類似地，數學家經常將費馬大定理描述為方程對 n> 2 沒有非平凡解。 顯然，這個方程確實有解。比如對任何 n都是解， a= 1, b= 0, c= 1 也一樣。但是這種解是顯然而無趣的，從而稱為 平凡解。
擴展
數學推理
平凡也經常指證明中容易的情形，為了完整性而不能省略。比如，數學歸納法證明分為兩部分：“奠基步驟”是對一個特殊起始值比如 n= 0 或 n= 1 證明定理；然後歸納步驟證明如果定理對特定值 n成立，那么對 n+1 也成立。奠基情形經常是顯然的。（但是，也有歸納步驟是平凡的而奠基情形卻困難的例子。關於多項式的定理經常是這種類型，證明對變元的個數用歸納法。證明如果係數環 A是唯一分解整環那么 A[ X,..., X] 是唯一分解整環，歸納步驟只要簡單的寫成 A[ X,..., X] = A[ X,..., X][ X]，而一個變元的奠基情形是困難的。）類似地，我們可能想證明某種性質對一個集合中所有元素都成立。證明的主要考慮非空集合，詳細檢驗其元素是否具有該性質；但如果集合是空集，則性質對其所有元素都成立，因為沒有元素需要檢驗。
數學界一個常見的笑話是說“平凡”和“被證明了的”是同義詞——這就是說，任何定理如果已知成立就可以認為是“平凡”的。另一個笑話是關於兩個數學家討論一個定理。第一個數學家說某個定理是“平凡的”。另一個要求一個解釋，然後他進行了 20 分鐘的解說。解說完了之後，第二個數學家同意這個定理是平凡的。這個笑話指出對平凡性判斷的主觀性。舉個例子，對微積分熟練的人，會認為這個定理
平凡解是平凡的。但對初學者來說，可能一點也不顯然。
值得注意的是，平凡性也取決於語境。泛函分析中的證明可能會給出一個數，平凡地假設存在這樣的大數。在初等數論中證明自然數的基本結論時，證明也許會與“每個自然數都有一個後繼”息息相關，但此點需加以證明，或者將其作為一個公理。
相關知識
非平凡解
