唯一性

它揭示了解析函式的一個非常深刻的性質，即由解析函式在區域內的部分點上的值確定了它在區域內的一切值，這表明解析函式在局部與整體上的值之間有著十分緊密的內在聯繫。

解的唯一性

定理1

如果函式f(x,y)在矩形域R上連續且關於y滿足利普希茨條件，則方程dy/dx=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x)，定義於區間|x-x0|<=h上，連續且滿足初值條件φ(x0)=y0,這裡h=min(a,b/M) , M=max|f(x,y)|。

命題1

設y=φ(x)是方程的定義於區間x0<=x<=x0+h上，滿足初值條件φ(x0)=y0的解，則y=φ(x)是積分方程y=y0+∫f(x,y)dx,x0<=x<=x0+h的定義於x0<=x<=x0+h上的連續解，反之亦然。

命題2

對於所有的n，皮卡逐步逼近函式φn(x)在 x0<=x<=x0+h上有定義，連續且滿足不等式|φn(x)-y0|<=b。

命題3

函式序列{φn(x)} 在x0<=x<=x0+h上已收斂的。

命題4

φn(x)是積分方程的定義於x0<=x<=x0+h上的連續解

命題5

設ψ(x)是積分方程的定義於 x0<=x<=x0+h的另一個解，則ψ(x)=φ(x)(x0<=x<=x0+h)