向量組的秩

向量組的秩為線性代數的基本概念,它表示的是一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數。由向量組的秩可以引出矩陣的秩的定義。

定義

極大無關組

要定義向量組的秩,首先要定義極大線性無關向量組。

向量組T中如果有一部分組 α1, α2, ···αr滿足:

α1,α2,···,αr線性無關;

任取向量組T中β,有α1,α2,···,αr,β線性相關。

1.

α

2.

β

則稱 α1, α2, ···αr為向量組T的一個極大線性無關向量組,簡稱為極大無關組。

向量組的秩

一個向量組的極大線性無關組所包含的向量的個數,稱為向量組的秩;若向量組的向量都是0向量,則規定其秩為0.向量組 α1, α2, ···αs的秩記為R{ α1, α2, ···αs}或rank{ α1, α2, ···αs}。

套用

定理

根據向量組的秩可以推出一些線性代數中比較有用的定理

向量組α1,α2,···,αs線性無關等價於R{α1,α2,···,αs}=s。

若向量組α1,α2,···,αs可被向量組β1,β2,···,βt線性表出,則R{α1,α2,···,αs}小於等於R{β1,β2,···,βt}。

等價的向量組具有相等的秩。

若向量組α1,α2,···,αs線性無關,且可被向量組β1,β2,···,βt線性表出,則s小於等於t。

向量組α1,α2,···,αs可被向量組β1,β2,···,βt線性表出,且s>t,則α1,α2,···,αs線性相關。

任意n+1個n維向量線性相關。

1.

α

2.

α

3.

等價的向量組具有相等的秩。

4.

α

5.

α

6.

任意n+1個n維向量線性相關。

矩陣的秩

有向量組的秩的概念可以引出矩陣的秩的概念。一個m行n列的矩陣可以看做是m個行向量構成的行向量組,也可看做n個列向量構成的列向量組。行向量組的秩成為行秩,列向量組的秩成為列秩,容易證明行秩等於列秩,所以就可成為矩陣的秩。矩陣的秩線上性代數中有著很大的套用,可以用於判斷逆矩陣和線性方程組解的計算等方面。

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