概念
半單若爾當代數(Semisimple Jordan algebra )是若爾當代數結構理論研究中起重要作用的一類若爾當代數。域F上的若爾當代數稱為半單的，若它的根是零。若域F之特徵數為0，則F上的任意一個有限維半單若爾當代數A恆可惟一地表成A=A⊕A⊕…⊕A，其中A是A的理想(i=1，2，…，n)，它們都是單的若爾當代數。
若爾當代數
半單若爾當代數
半單若爾當代數若爾當代數(Jordan algebra)是一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式。所謂非結合代數滿足若爾當恆等式，是指對它的任意元素x，y，恆有及。任何交換(結合)代數都是若爾當代數。特徵數為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數恆可惟一地表為其單理想之直和。對於有限維若爾當代數，理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。
若爾當代數(Jordan algebra)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。他們最初被稱為“r階數字系統”，但由Albert（1946年）更名為“若爾當代數”，他開始系統研究若爾當代數。
在抽象代數中，若爾當代數是一個不相關代數，其乘法滿足以下公理： xy = yx; (xy)(xx)= x(y(xx))。
若爾當代數中的兩個元素x和y的乘積也表示為x∘y，為了避免與相關關聯代數的乘積混淆。
人物簡介
若爾當是法國數學家。生於里昂，卒於巴黎。畢業於巴黎理工科大學，1861年獲博士學位。1873—1921年任教於母校和法蘭西學院，1881年當選為法國科學院院士。1895年當選為彼得堡科學院通訊院士。擔任過《純粹與套用數學》雜誌編輯(1885—1921)。若爾當在代數學、分析學、函式論、拓撲學、集合論等方面都有較大的貢獻。他運用組合論的觀點探討了多面體的對稱性，對平面或n維空間的任意集合引入了外測度的概念；還建立了有界變差函式的概念，並證明這種函式可表為兩個增函式的差；在代數學方面，他系統地發展了有限群論及伽羅華理論，證明了著名的“若爾當—赫爾德定理”的前半部。他最早開展了無限群的研究，首先用形如：
半單若爾當代數的線性變換來表示置換群。論證了所謂有限群定理，對於研究對稱群的子群、複數域上一般線性群的有限子群等具有重要意義。利用相似矩陣和特徵方程的概念，證明矩陣可化為標準型，現稱為“若爾當標準型。若爾當的名著《論置換與代數方程》(Traité des substitutions et des équations algébriques)於1870年首版，在數學界產生了很大的影響，長期被作為群論中的權威著作。若爾當的《分析教程》(Coursd'analyse 1887)是19世紀的標準教科書。這本書給出曲線的“若爾當定義”：由連續函式x=f(t)，y=g(t)(t0≤t≤t1)表示的點集。並證明了拓撲學中的“若爾當定理”：一個簡單閉曲線將平面分為內、外兩部分。他的證明有缺陷，後來由維布倫補足(1905)。
若爾當定理
關於複平面上簡單閉曲線性質的一個著名定理。該定理斷言：複平面上的任意一條簡單閉曲線γ把複平面分成兩個區域，其中一個是有界的，稱為γ的內部；另一個是無界的，稱為γ的外部.γ是 兩個區域的共同邊界。該定理的結論十分直觀，但證明並不容易。若爾當(Jordan，M.E.C.)首先提出該定理，但他的證明有缺陷。維布倫(Veblen，O.)在1945年首先完成了對該定理的嚴格證明。
半單代數
半單代數是一類特殊的代數。指具有平凡根基的非平凡連通代數。例如，特殊線性群SL(n，K)就是一個半單代數。
一般指半單代數的同構分類。半單代數的同構類一一對應於二元組(Φ，Λ)的同構類，這裡Φ是一個抽象意義下的根系，而Λ是介於Φ的根格與抽象權格之間的一個在外爾群作用下穩定的格.Φ的根格Λ就是根的整線性組合所成的格;而抽象權格則定義為：
Λ={χ∈E|2(χ，α)/(α，α)∈Z，α∈Φ}，
其中( ， )是Φ張成的實空間中的一個外爾群不變的內積。若取定半單線性代數群G的一個極大環面T，則G對應的二元組是(Φ(G，T)，X(T)).因此，半單線性代數群可先按照其根系的類型進行粗略分類(同宗分類)。例如，特殊線性群SL(n，K)是A型的，正交群SO(2n+1，K)是B型的，辛群Sp(2n，K)是C型的，正交群SO(2n，K)是D型的.當X(T)=Λ時，稱G為伴隨型的，它是所有與它同宗的代數群的同態像；當X(T)=Λ時，稱G為普遍型或單連通的，它是所有與它同宗的代數群的覆蓋。例如，SL(n，K)是單連通的，而射影線性群PGL(n，K)是與它同宗的伴隨群。若G的根系是不可分解的，則稱G為殆單的。伴隨型的殆單群是嚴格意義的單群。有限群X(T)/Λ稱為G的基本群。
