概念介紹
霍普夫代數同態(Hopf algebra homomor-phism)是指滿足特定條件的雙代數同態。設(H，μ，η，Δ，ε，S)和(H′，μ′，η′，Δ′，ε′，S′)是R上的兩個霍普夫代數。若f是(H，μ，η，Δ，ε)到(H′，μ′，η′，Δ′，ε′)的一個雙代數同態，並且S′·f=f·S，則f稱為霍普夫代數同態。
霍普夫代數
20世紀60年代以後迅速發展起來的代數學的新學科。域k上的霍普夫代數是同時具有k代數結構和它的對偶結構(k余代數結構)並滿足一定的相容條件的代數系統。霍普夫代數理論的發展有兩個來源.一個來源是代數拓撲學，這方面的工作可以追溯到霍普夫(Hopf，H.)於1941年關於系統在域k中的連通李群G的上同調群H(G，k)的研究.霍普夫得到一個十分卓越的結果：當k是特徵為0的域時，H(G，k)是具有奇數階生成子的外代數且其維數是有限的。後來博雷爾(Borel，A.)於1953年、米爾諾和穆爾(Milnor，J.W.-Moore，J.C.)於1965年又做了重要的推廣和深化(如把連通李群推廣到道路的H空間和與之對偶的同調群即邦德列雅金(Pontrygin)代數H(G，k)的研究等)，這方面的工作導致了分次霍普夫代數理論，這也是其命名的由來。另一個來源是表示理論，開始於霍赫希爾德(Hochschild，G.)和莫斯托夫(Mostow，H.)於1957年對李群的表示環的研究。史維德勒(Sweedler，M.E.)沿著這個方向建立了非分次的霍普夫代數理論，推動了霍普夫代數的迅速發展。分次的與非分次的霍普夫代數雖然結構相似，卻是題材互異。
霍普夫代數的結構從對偶的角度看可說是十分自然的。例如把上文述及的G取為有限群，就可以得到群代數及其對偶代數作為霍普夫代數的平凡例子。G也可以取為拓撲群、代數群等，因此，在數學的許多分支中都存在著具有霍普夫代數結構的對象。霍普夫代數理論在許多數學分支中都有重要的套用，例如代數群理論、域擴張的伽羅瓦理論和布饒爾群理論、C代數、李代數和李超代數、組合理論等。
霍普夫代數在物理學中的模型是量子群，因此它在物理學，特別是量子逆擴散方法和超對稱理論的研究中，占有顯著的重要地位。
在霍普夫代數的以下諸詞條中，若沒有特別說明，則R恆指有單位元的交換環，所有R上的代數均指有單位元的結合代數。
人物簡介
霍普夫是瑞士數學家.生於德國的布雷斯勞(今波蘭弗羅茨瓦夫)，卒於瑞士措刊孔。早年就學於柏林大學、海德堡大學。1925年獲柏林大學博士學位，同年又到哥廷根大學學習1927—1928年，在普林斯頓大學做研究工作.1931年被聘為瑞士蘇黎世高等工業學院教授，直至1965年退休。美國全國科學院和義大利林琴科學院外籍院士.1955—1958年任國際數學聯盟主席。
霍普夫的工作很大一部分與代數拓撲有關。他在20世紀30年代的工作是後來的球同倫研究的先驅。在柏林大學時，他證明了布勞威爾映射度是映射S→S的惟一同倫不變數，得到了布勞威爾-霍普夫定理。1925年到哥廷根後，受諾特(Noether，E.)影響較大，他第一個把諾特的概念框架套用於同調論，證明了歐拉-龐加萊公式的推廣。1931年，他證明了存在映射f：S→S，f被稱為霍普夫映射，也就是著名的霍普夫纖維化或主霍普夫叢.這在同倫論發展史上具有重要意義.他還定義了霍普夫不變數，並證明了上面映射的不變數為1.1935年，他又推廣了上面映射，得到了映射f：S→S，並對這種映射進行了同倫分類，證明了當n=4，8時，所有映射不變數相等.後被人證明，當n=2，4，8時，霍普夫不變數都為1。這時映射就成為以S為全空間，以S為底空間的纖維叢的映射。他首次證明了本質，但是零調的映射的存在性，且基本性質不能用誘導同調同態來檢驗。1941年，他建立了H空間，並在研究H空間的同調以及上同調時，又建立了霍普夫代數。現在霍普夫代數已是現代代數的一個重要組成部分，並是代數拓撲學的常用工具。此外，他在拓撲和微分幾何的其他很多方面也做出了重要貢獻。他曾和亞歷山德羅夫(Александров，А.Д.)進行過長期的合作，1935年，他倆合著的《拓撲Ⅰ》一書，對拓撲學的發展起了很大的推動作用.1969年，他還獲國際羅巴切夫斯基數學獎。他的主要論著均收入了他1964年出版的《文選》中。
雙代數
一種代數系統。它既有代數結構，又有餘代數結構，且兩種結構具相容性。設(B，μ，η)是R代數，且(B，Δ，ε)是R上的余代數，其中μ是B的乘法映射，η是刻畫B的單位元的映射。若Δ和ε都是R代數同態(等價於μ，η都是R余代數同態)，則(B，μ，η，Δ，ε)稱為R上的雙代數。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
霍普夫代數同態設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
雙代數同態
雙代數同態是具有雙重同態性質的映射。設B和B′是R上的兩個雙代數，若一個B到B′的代數同態f同時又是余代數同態，則f稱為B到B′的一個雙代數同態。
