切比雪夫定理:設X是一個隨機變數取取區間（0，∞）上的值，F(x)是它的 -百科知識中文網

切比雪夫不等式的提出

19世紀俄國數學家切比雪夫研究統計規律中，論證並用標準差表達了一個不等式，這個不等式具有普遍的意義，被稱作切比雪夫定理，其大意是：

任意一個數據集中，位於其平均數m個標準差範圍內的比例（或部分）總是至少為1－1/m ，其中m為大於1的任意正數。對於m=2，m=3和m=5有如下結果：

所有數據中，至少有3/4（或75%）的數據位於平均數2個標準差範圍內。

所有數據中，至少有8/9（或88.9%）的數據位於平均數3個標準差範圍內。

所有數據中，至少有24/25（或96%)的數據位於平均數5個標準差範圍內。

切比雪夫不等式可以使人們在隨機變數X的分布未知的情況下，對事件機率作出估計。

設隨機變數X具有數學期望，方差則對任意正數ε，不等式或成立。

注意：套用切比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。

若對於任意的ε>O，當n很大時，事件“ ”的機率接近於1，則稱隨機變數序列{X}依機率收斂於a。正因為是機率，所以不排除小機率事件“”發生。所以，依機率收斂是不確定現象中關於收斂的一種說法，記為。

設X，X，…，X，…是相互獨立的隨機變數序列，數學期望E(X)和方差D(X)都存在(i=1，2，…)，且D(X)<C(i=l，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

特別地：X，X，…，X，…是相互獨立的隨機變數序列，數學期望E(X)=μ和方差D(X)=σ (i=1，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

即

切比雪夫定理的這一推論，使我們關於算術平均值的法則有了理論根據．設測量某一物理量a，在條件不變的情況下重複測量n次，得到的結果X，X，…，X是不完全相同的，這些測量結果可看作是n個獨立隨機變數X，X，…，X的試驗數值，並且有同一數學期望a。於是，按大數定理j可知，當n足夠大時，下式成立，即

上式表明，n足夠大時，把n次測量結果的算術平均值作為a的近似值，所產生的誤差是很小的。