源來
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切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的套用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根(被稱為切比雪夫節點)可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象,並且提供多項式在連續函式的最佳一致逼近。
基本性質
對每個非負整數n, Tn(x) 和 Un(x) 都為 n次多項式。 並且當n為偶(奇)數時,它們是關於x 的偶(奇)函式, 在寫成關於x的多項式時只有偶(奇)次項 。
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n 1時,Tn的最高次項係數為 ,n=0時係數為1。
切比雪夫多項式分類
在微分方程的研究中,數學家提出切比雪夫微分方程:
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相應地,第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解 。
第一類切比雪夫多項式
由以下遞推關係確定
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也可以用母函式表示
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第二類切比雪夫多項式
由以下遞推關係給出
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此時母函式為
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兩類切比雪夫多項式間的關係
兩類切比雪夫多項式間還有如下關係 :
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切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例,後者是雅可比多項式的特例。
切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出:
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套用
切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的套用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根(被稱為切比雪夫節點)可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象,並且提供多項式在連續函式的最佳一致逼近。
切比雪夫多項式插值
切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的套用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根(被稱為切比雪夫節點)可以用於多項式插值 。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象,並且提供多項式在連續函式的最佳一致逼近。
冪級數項數的節約
設f(x)在(1,1)上的近似展開式為
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若
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其中 是給定的誤差限.可以利用切比雪夫多項式將Pn(x)重新組合以降低逼近多項式的次數。記
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若
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而
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則可以把後面m項去掉,得到f(x)新的,n-m次的並滿足誤差要求的逼近多項式
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事實上,只要注意
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並利用範數的三角不等式,容易證明
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切比雪夫多項式一直是研究熱點,目前已發現了許多良好的性質,如正交性、奇偶性、有界性、完備性等,產生了不少恆等式,得到了一些積和式,對第一類切比雪夫多項式構成的遞推關係式、不動點、方程(組)也有了初步的研究成果,對切比雪夫型基本方程組全體複數解的一般表示及其周期軌表示、二維切比雪夫型方程組也出現了更深入的研究。有的學者則研究了其在分子軌道方面的套用,在Fibonacci數的套用,還有學者研究了與切比雪夫多項式相關的行列式。