實變函式論
產生
微積分產生於十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學已經基本上成熟了。數學家廣泛地研究並建立起它的許多分支，是它很快就形成了數學中的一大部門，也就是數學分析。
函式論相關書籍也正是在那個時候，數學家逐漸發現分析基礎本身還存在著學多問題。比如，什麼是函式這個看上去簡單而且十分重要的問題，數學界並沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數學結果，弄不清究竟誰是正確的。又如，對於什麼是連續性和連續函式的性質是什麼，數學界也沒有足夠清晰的理解。
十九世紀初，曾經有人試圖證明任何連續函式除個別點外總是可微的。後來，德國數學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數定義的函式，這個函式是連續函式，但是維爾斯特拉斯證明了這個函式在任何點上都沒有導數。這個證明使許多數學家大為吃驚。
由於發現了某些函式的奇特性質，數學家對函式的研究更加深入了。人們又陸續發現了有些函式是連續的但處處不可微，有的函式的有限導數並不黎曼可積；還發現了連續但是不分段單調的函式等等。這些都促使數學家考慮，我們要處理的函式，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函式的性質。比如，連續函式必定可積，但是具有什麼性質的不連續函式也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什麼樣的？連續函式不一定可導，那么可導的充分必要條件由是什麼樣的？
上面這些函式性質問題的研究，逐漸產生了新的理論，並形成了一門新的學科，這就是實變函式。
內容
以實數作為自變數的函式就做實變函式，以實變函式作為研究對象的數學分支就叫做實變函式論。它是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。什麼是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質的理論。也可以說實變函式論是在點集論的基礎上研究分析數學中的一些最基本的概念和性質的。比如，點集函式、序列、極限、連續性、可微性、積分等。實變函式論還要研究實變函式的分類問題、結構問題。
實變函式論的內容包括實值函式的連續性質、微分理論、積分理論和測度論等。這裡我們只對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。
實變函式論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則。由於積分歸根到底是數的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集以一個數量的概念，這個概念叫做測度。
什麼實測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度的概念對於實變函式論十分重要。集合的測度這個概念實由法國數學家勒貝格提出來的。
為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念並用來討論積分。1898年，法國數學家波萊爾把容度的概念作了改進，並把它叫做測度。波萊爾的學生勒貝格後來發表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。勒貝格還在他的論文《積分和圓函式的研究》中，證明了有界函式黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。
勒貝格積分可以推廣到無界函式的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，後來由推廣到積分可以不是絕對收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出後來又由黎曼發揚的老積分定義廣大多了。也可以看出，實變函式論所研究的是更為廣泛的函式類。
自從維爾斯特拉斯證明連續函式必定可以表示成一致收斂的多項式級數，人們就認清連續函式必定可以解析地表達出來，連續函式也必定可以用多項式來逼近。這樣，在實變函式論的領域裡又出現了逼近論的理論。
什麼是逼近理論呢？舉例來說，如果能把A類函式表示成B類函式的極限，就說A類函式能以B類函式來逼近。如果已經掌握了B類函式的某些性質，那么往往可以由此推出A類函式的相應性質。逼近論就是研究那一類函式可以用另一類函式來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現的各種情況。
和逼近理論密切相關的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數。和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函式出發構造出新的函式類型的理論，這種理論叫做函式構造論。
總之，實變函式論和古典數學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學的一個重要分支，它的套用廣泛，它在數學各個分支的套用是現代數學的特徵。
實變函式論不僅套用廣泛，是某些數學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數學分支的套用，對形成近代數學的一般拓撲學和泛涵分析兩個重要分支有著極為重要的影響。
複變函數論
概念
函式論相關書籍以複數作為自變數的函式就叫做複變函數，而與之相關的理論就是複變函數論。解析函式是複變函數中一類具有解析性質的函式，複變函數論主要就研究複數域上的解析函式，因此通常也稱複變函數論為解析函式論。
發展簡況
複變函數論產生於十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
複變函數論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，並且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱讚它是抽象科學中最和諧的理論之一。
為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。
後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。
複變函數論在套用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。
比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。
複變函數論不但在其他學科得到了廣泛的套用，而且在數學領域的許多分支也都套用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、機率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。
內容
複變函數論主要包括單值解析函式理論、黎曼曲面理論、幾何函式論、留數理論、廣義解析函式等方面的內容。
如果當函式的變數取某一定值的時候，函式就有一個唯一確定的值，那么這個函式解就叫做單值解析函式，多項式就是這樣的函式。
複變函數也研究多值函式，黎曼曲面理論是研究多值函式的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函式的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函式，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函式在離曼曲面上就變成單值函式。
黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋樑，能夠使我們把比較深奧的函式的解析性質和幾何聯繫起來。近來，關於黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向於討論它的拓撲性質。
複變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函式論，複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函式所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的套用。
留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。套用留數理論對於複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函式定積分，可以化為複變函數沿閉迴路曲線的積分後，再用留數基本定理化為被積分函式在閉合迴路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。
把單值解析函式的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函式叫做廣義解析函式。廣義解析函式所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函式的一些基本性質，只要稍加改變後，同樣適用於廣義解析函式。
廣義解析函式的套用範圍很廣泛，不但套用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在套用。因此，近年來這方面的理論發展十分迅速。
從柯西算起，複變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被套用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。現在，複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，並將取得更多套用。
學習書籍
《高等數學》，《複變函數》，《微積分》，《實變函式與泛函分析概要》，《複變函數與積分變換》
