測度
數學上, 測度(Measure)是一個函式,它對一個給定集合的某些子集指定一個數,這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的,後來人們希望把積分推廣到任意的集合上,就發展出測度的概念,它在數學分析和機率論有重要的地位。
測度論是實分析的一個分支,研究對象有σ代數、測度、可測函式和積分,其重要性在機率論和統計學中都有所體現。
測度的定義
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正式的定義為,一個測度 (詳細的說法是 可列可加的正測度)是個函式。設 的元素是的子集合,而且是一個 -代數, 在 上定義,於 中取值,並且滿足以下性質:
空集合的測度為零:
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可數可加性,或稱 -可加性:若 為 中可數個兩兩不相交集合的序列,則所有 的聯集的測度,等於每個 的測度之和:
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這樣的三元組 稱為一個 測度空間,而 中的元素稱為這個空間中的 可測集合。
性質
單調性
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測度 的單調性: 若 和 為可測集,而且 ,則 。
可數個可測集的並集的測度
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若 為可測集(不必是兩兩不交的),則集合 的並集是可測的,且有如下不等式(“次可列可加性”):
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σ-有限測度
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如果 是一個有限實數(而不是 ),則測度空間 稱為 有限測度空間。如果 可以表示為可數個可測集的並集,而且這些可測集的測度均有限,則該測度空間稱為 -有限測度空間。如果測度空間中的一個集合 可以表示為可數個可測集的並集,而且這些可測集的測度均有限,就稱 具有 -有限測度。
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作為例子,實數集賦以標準勒貝格測度是 -有限的,但不是有限的。為說明之,只要考慮閉區間族[k, k+1],k取遍所有的整數;這樣的區間共有可數多個,每一個的測度為1,而且並起來就是整個實數集。作為另一個例子,取實數集上的計數測度,即對實數集的每個有限子集,都把元素個數作為它的測度,至於無限子集的測度則令為。這樣的測度空間就不是-有限的,因為任何有限測度集只含有有限個點,從而,覆蓋整個實數軸需要不可數個有限測度集。-有限的測度空間有些很好的性質;從這點上說,-有限性可以類比於拓撲空間的可分性。
完備性
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一個可測集稱為 零測集,如果。零測集的子集稱為 可去集,它未必是可測的,但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測,則稱該測度為 完備測度。
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一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度:考慮的所有這樣的子集,它與某個可測集僅差一個可去集,也就是說與的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集生成的σ代數,並定義的值就等於。
例子
下列是一些測度的例子(順序與重要性無關)。
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計數測度定義為的“元素個數”。
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一維勒貝格測度是定義在的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足的唯一測度。
Circular angle測度是旋轉不變的。
局部緊拓撲群上的 哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣,而且也有類似的刻劃。
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恆零測度定義為,對任意的。
每一個機率空間都有一個測度,它對全空間取值為1(於是其值全部落到單位區間[0,1]中)。這就是所謂 機率測度。見機率論公理。
其它例子,包括:狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。
相關條目
•外測度(Outer measure)
•幾乎處處(Almost everywhere)
•勒貝格測度(Lebesgue measure)