共線向量基本定理
共線向量基本定理如果 a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λ a。
證明：
1） 充分性：對於向量 a( a≠0)、 b，如果有一個實數λ，使 b=λ a，那么由 實數與向量的積的定義 知，向量 a與 b共線。
2） 必要性：已知向量 a與 b共線， a≠0，且向量 b的長度是向量 a的長度的m倍，即 ∣ b∣=m∣ a∣。那么當向量 a與 b同方向時，令 λ=m，有 b =λ a，當向量 a與 b反方向時，令 λ=-m，有 b=λ a。如果 b= 0，那么λ=0。
3） 唯一性：如果 b=λ a=μ a，那么 (λ-μ) a= 0。但因 a≠ 0，所以 λ=μ。
證畢。
推論
推論1
兩個向量 a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λ a+μ b= 0。
證明：
1） 充分性，不妨設μ ≠0，則由 λ a+μ b= 0 得 b=(λ/μ) a。由 共線向量基本定理 知，向量 a與 b共線。
2） 必要性，已知向量 a與 b共線，若 a≠0，則由共線向量基本定理知， b=λ a，所以 λ a- b= 0，取 μ=-1≠0，故有 λ a+μ b= 0，實數λ、μ不全為零。若 a= 0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λ a+μ b= 0。
證畢。
推論2
兩個非零向量 a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λ a+μ b= 0。
證明：
1） 充分性，∵μ ≠0，∴由 λ a+μ b= 0 可得 b=(λ/μ) a。由 共線向量基本定理 知，向量 a與 b共線。
2） 必要性，∵向量 a與 b共線，且 a≠0，則由 共線向量基本定理 知， b=λ a；又∵ b≠0，∴λ ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λ a+μ b= 0，實數λ、μ全不為零。
證畢。
推論3
如果 a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實數λ、μ，使得 λ a+μ b= 0，那么λ=μ=0。
證明：（ 反證法）
不妨假設μ≠0，則由 推論1 知，向量 a、b共線；這與已知向量 a、b不共線矛盾，故假設是錯的，所以λ=μ=0。
證畢。
推論4
如果三點P、A、B不共線，那么點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實數λ，使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
證明：
∵三點P、A、B不共線，∴向量AB≠ 0，
由 共線向量基本定理 得，
點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ，使 向量AC=λ·向量AB
∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
證畢。
推論5
如果三點P、A、B不共線，那么點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實數λ、μ，使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
證明：
在 推論4 中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知：
三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
下面證 唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，
即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB= 0，
∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，
由 推論3 知，m=λ，n=μ。
證畢。
推論6
如果三點P、A、B不共線，那么點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC= 0，λ+μ+ν=0。
證明：
1） 充分性，由 推論5 知，若三點P、A、B不共線，則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。
取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC= 0，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零。
2） 必要性，不妨設ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC= 0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由 推論5 即知，點C在直線AB上。
證畢。
推論7
點P是直線AB外任意一點，那么三不同點A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC= 0，λ+μ+ν=0。
證明：（ 反證法）
∵點P是直線AB外任意一點，∴向量PA≠ 0，向量PB≠ 0，向量PC≠ 0，且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。
由 推論6 知，實數λ、μ、ν不全為零，
1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA= 0，∴向量PA= 0。這與向量PA≠ 0。
2）假設實數λ、μ、ν中有一個為零，不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB= 0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 與 向量PB共線，這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾。
證畢。
共線向量定理
定理1
⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是
共線向量基本定理其中
共線向量基本定理都是其對應向量的數量。
證明：有 推論5 即可證得。
定理2
⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是
共線向量基本定理
共線向量基本定理其中都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。
證明：由 定理1 即可得證。
