共面向量基本定理

概念

能平移到同一平面內的向量，或者說平行於同一平面的向量，叫做共面向量。

定理

如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實數對x、y，使p=xa+yb。　（a,b≠0）

推論1

向量a、b、c共面的充要條件是：存在三個不全為零的實數λ、μ、ν，使 λa+μb+νc=0。

推論2

無二者共線的非零向量a、b、c共面的充要條件是：存在三個全不為零的實數λ、μ、ν，使 λa+μb+νc=0。

推論3

如果a、b、c是三個不共面的向量，且存在實數λ、μ、ν，使得 λa+μb+νc=0，那么λ=μ=ν=0。

推論4

設O、A、B三點不共線，則點C在平面OAB上的充要條件是存在唯一一對有序實數(x，y)，使
向量OC=x向量OA+y向量OB。

推論5

若O、A、B、C四點不共面，則點P在平面ABC內的充要條件是：存在唯一實數組λ、μ、ν，使 向量OP=λOA+μOB+νOC，其中λ+μ+ν=1。

推論6

對於空間任意四個向量 a、b、c、d，必存在四個不全為零的實數λ、μ、ν、υ，使得 λa+μb+νc+υd=0。