兩角和(差)公式
正弦公式
![兩角和公式](/img/e/f0c/wZwpmLyEDMwMzN0cTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3EzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
餘弦公式
![兩角和公式](/img/0/754/wZwpmLzIjNxUTM5ATNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwUzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
正切公式
![兩角和公式](/img/3/ff5/wZwpmL4QjMzQDMxQTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
以上三式被稱為兩角和(差)的三角函式公式。
公式證明
如圖,為半徑為1的單位圓。
![兩角和公式](/img/b/5d3/wZwpmL1czM2EDM2UTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
根據餘弦定理:
![兩角和公式](/img/0/f9b/wZwpmL3IzM0IDM4QDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0QzLxgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
根據勾股定理:
![兩角和公式](/img/b/185/wZwpmLwQDOwgDMxYTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2EzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
又
![兩角和公式](/img/1/8ca/wZwpmLzgDOzEDM2EzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxMzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/0/c7c/wZwpmLzUjNzEjNwETMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/0/c2c/wZwpmLwATO0kTNwMzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/5/66c/wZwpmL1QzM2kjM3QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/0/5bc/wZwpmLzgTM3EzMxQTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/d/eea/wZwpmL1ADMxATM5gjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4IzL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
即
![兩角和公式](/img/a/78d/wZwpmL2ATNzMTOyYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
且
![兩角和公式](/img/c/b29/wZwpmL4AzM4YzN4IjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyIzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/9/c31/wZwpmL0QTOwYTN1YTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2EzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/2/4b6/wZwpmL0IjM5MTM2QTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/0/4b1/wZwpmL1cTNzMDN0IDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/5/66c/wZwpmL1QzM2kjM3QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
化簡後,即
![兩角和公式](/img/f/0d7/wZwpmLzIjMzgTOwMzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
聯立(1)(2),知
![兩角和公式](/img/b/cc6/wZwpmL2MjM1YzN3IzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyMzLxYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
此即兩角差的餘弦公式。
根據誘導公式可知:
![兩角和公式](/img/c/12d/wZwpmLycTMwUjN1UzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1MzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/2/b4f/wZwpmL2EDN5UTMzQTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/4/904/wZwpmL0UTNzMDO2ATNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwUzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/6/f8c/wZwpmLxATN1UTNxYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLzczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![兩角和公式](/img/d/30a/wZwpmL3gzNwQTN1MTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzEzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
此即兩角差的正弦公式。
將前兩式相除,即得對應的正切公式。
證畢。
兩角和(差)公式包括兩角和差的正弦公式、兩角和差的餘弦公式、兩角和差的正切公式。兩角和與差的公式是三角函式恆等變換的基礎,其他三角函式公式都是在此公式基礎上變形得到的。
正弦公式
餘弦公式
正切公式
以上三式被稱為兩角和(差)的三角函式公式。
如圖,為半徑為1的單位圓。
根據餘弦定理:
根據勾股定理:
又
即
且
化簡後,即
聯立(1)(2),知
此即兩角差的餘弦公式。
根據誘導公式可知:
此即兩角差的正弦公式。
將前兩式相除,即得對應的正切公式。
證畢。
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