關於格的交運算
交運算
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交運算格(lattice)是一類代數結構，它是建立在偏序集之上的，由E的任意元素構造的如下兩個集合{且}及{且}，它們作為P的子集均仍為偏序集，一般不一定有最小元或最大元。若對P的任意元素，均有 最小元，均有 最大元，則稱P為 格，並記為。在格上，把和其最小元的對應關係視為一類二元運算，稱為x和y的 交，記為，對稱地，把和其最大元的對應關係視為x和y的結，記為。它們是格上最基本的運算，這兩類運算滿足：
交運算1.同一律：
交運算2.交換律：
交運算3.結合律：
交運算
交運算4.吸收律：
交運算
交運算其中和z均為E的任意元素，因此格又可視為滿足上述四條規律的代數結構。
交運算
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交運算
交運算 交運算 交運算雖然格的理論建立較晚，大約在20世紀30年代左右，但是很快就在解決序集問題和組合問題及代數問題中迅速發展，成為有關研究的有效理論基礎，格理論伴隨擬陣理論的發展就是一個明顯的例證，與一般具有序特徵的代數結構不同的是，格中元素的序特徵不是外在的，而是內在的，這是由於它們的序關係完全可以等價地由格的內在運算來刻畫：若且唯若或者若且唯若，這也反映了格的交運算與結運算的對稱性。有一些重要的格的例子。例如，格，這裡為E的所有子集的構成的集族，而，其上的結運算為集x和集y的並集，交運算為集x和集y的交集。又如，若自然數n的所有正整除數組成集合為E，E的元素有序關係若且唯若x能整除y，則偏序集為格，為x和y的最低公倍數，為x和y的最大公約數 。
集合的交運算
定義
交運算 交運算
交運算
交運算對於任意兩個集合A、B，由所有既屬於A又屬於B的元素構成的集合，稱作A與B的 交集，記作。即：={且}。
舉例說明
交運算例如，，則
交運算
交運算又如，，則
交運算
交運算如果集合
，也就是說集合A和B沒有公共元素，則稱A、B不相交。例如：
交運算 交運算那么，即A、B不相交 。
圖形表示
交運算 交運算 交運算集合之間的運算可以用文氏(John Venn英國數學家，1834-1923)圖形象地表示。如圖1所示，用平面上的矩形表示全集。用矩形內的圓表示中的任一集合。圖中陰影部分為。
圖1 集合的交運算由集合交運算的定義可知，交運算有以下性質：
交運算(1) 冪等律：
交運算(2)同一律：
交運算(3)零律：
交運算(4)結合律：
交運算(5)交換律：
類似地，結合律可以用歸納法推廣到有限個集合的情況，記
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