交換代數基礎

1、交換代數的概念和起源簡介：交換代數是研究交換環的一門代數學科。它的現代形式和作為一門獨立的學科雖然只有三十餘年的歷史，但是它的起源要上溯到一百年前，交換代數以兩門古老的數學分支————代數數論和代數幾何為背景產生和發展起來的，同時也為這兩個學科的進一步研究工作提供了不可缺少並且富有成效的代數工具。
2、交換代數的變遷：正是在代數數論和代數幾何的發展和需要的刺激下，交換代數作為它們共同的代數基礎逐漸形成一門獨立學科。到了本世紀五十年代，同調代數的出現把對於環的研究又推到一個新的階段。在那以後，交換代數具有許多新的特點。例如：模論起著愈來愈重要的作用，局部化方法和從局部把握整體的原則變成起主導作用的方法和原則。目前，交換代數已經成為從事代數研究工作所不可缺少的一門基礎學科。
3、本書的特點：本書主要講述交換代數的基本理論和方法。其內容基本上是經典的，但是敘述方法是現代的，即突出模論和局部化方法。具體說來，在第一章簡單地介紹交換環的一般性質之後，第二章講述模論的基本知識，第三章講述局部化方法。第四章和第五章講述幾種類型的交換環，特別是介紹了作為代數幾何基礎的Noether環和作為代數數論基礎的Dedekind整環。為了避免出現空泛的概念，第六章介紹代數幾何和代數數論的基本內容，主要目的是試圖闡明在前五章中所講述的交換代數知識和方法是如何以代數幾何和代數數論為背景並為它們提供有效的代數工具的。最後一章介紹分次環、維數理論和完備化方法。個別地方需要域論的一些簡單知識。為了方便閱讀，最後將關於域的擴張的某些事實放在書末。
4、本書內容目錄：
第一章 、交換環和它的某些性質
§1．1理想的運算
§1．2素理想和極大思想
§1．3大根和小根
第二章、模論初步
§2．1模和它的基本性質
§2．2模上的線性代數
§2．3正合序列與交換圖表
§2．4同態運算元Hom，投射模
§2．5張量積運算元♁，平坦模
§2．6主理想整環上的有限生成模
第三章、分式環和分式模，局部化方法
§3．1分式環
§3．2分式模
§3．3局部性質
第四章、Noether環和Artin環
§4．1理想的準素分解
§4．2Noether模和Noether環
§4．3Artin模和Artin環
第五章、Dedekind整環
§5．1整性相關
§5．2一維Noether整環，離散賦值環
§5．3Dedekind整環
第六章、代數簇和代數整數環
§6．1代數集合與代數簇
§6．2交換代數
§6．3同構和雙有理同構
§6．4代數整數環
§6．5二次域
第七章、分次環、維數理論和完備化方法
§7．1分次環和分次模
§7．2維數理論
§7．3完備化
附錄、關於域的擴張