二次域:有理數域Q的二次擴域。每個二次域都可表示成其中d 不等於1是無平 -百科知識中文網

二次域

正文

有理數域Q的二次擴域。每個二次域都可表示成

其中d 不等於1是無平方因子的有理整數，按照d>0和d<0，分別稱K為實二次域和虛二次域。
二次域是除了有理數域之外最簡單的一類代數數域。它有如下較簡單的數學結構和特性：
① K的（代數）整數環為OK=Z【ω】，即K中每個（代數）整數均可寫成α+bω，其中α、b∈Z,而

（當d呏2，3(mod4)時）,

（當d呏1(mod4)時）。由此可知，K的判別式分別為d(K)=4d和d(K)=d。
② 每個有理素數p在二次域K 中的分解規律為：對於p≥3時，若p｜d(K)，則p是 OK中一個素理想的平方（即p在K中分歧）；若p

d(K),當

，則p為OK中兩個不同素理想的乘積(即p在K中分裂)；當

-1，則p在OK中仍生成素理想(即p在K中慣性)。對於素數p=2，若 2｜d(K)，則 2在K中分歧；若2

d(K),則必然d呏1(mod4)。當d呏1(mod8)時，2在K中分裂；當d呏5(mod8)時，2在K中慣性。
③ 二次域K 的單位根群記為WK。當

時，

；當

時,WK={±1，±ω ，±ω2},

。而對於所有其他的二次域K，則WK={±1}。
④ 二次域K的單位群 UK，指的是整數環 OK中乘法可逆元全體。當 K為虛二次域時,UK=WK，而對於實二次域 K，存在一個單位 ε>1（稱為 K的基本單位），使得

⑤ 二次域

的（理想）類數hK也有簡單的表達式：當d≤-5時，

（對於d=-1和-3，熟知hK=1）；當d>0時，

二次域

式中D＝｜d(K)｜;ε為基本單位；ln表自然對數；ⅹD是模D（惟一的）實本原特徵。
1801年，C.F.高斯發表了他在20歲時所寫的數論著作《算術研究》，展現了他的一個傑出的思想，即把有理數域和有理整數環上的許多初等數論問題，放到更大的域和環──二次域和它的(代數)整數環上來研究。他在這些方面的工作，是研究二次域的開端，也是代數數論的一個源頭。
二次域有許多研究課題，其中最著名的是高斯關於類數問題的兩個猜想:①只有有限多個類數為1的虛二次域;②存在著無限多個類數為1的實二次域。關於第一個猜想,1934年，H.海布雷恩證明了當d(K)→