二次域
正文
有理數域Q的二次擴域。每個二次域都可表示成
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二次域是除了有理數域之外最簡單的一類代數數域。它有如下較簡單的數學結構和特性:
① K的(代數)整數環為OK=Z【ω】,即K中每個(代數)整數均可寫成α+bω,其中α、b∈Z,而
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② 每個有理素數p在二次域K 中的分解規律為:對於p≥3時,若p|d(K),則p是 OK中一個素理想的平方(即p在K中分歧);若p
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③ 二次域K 的單位根群記為WK。當
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④ 二次域K的單位群 UK,指的是整數環 OK中乘法可逆元全體。當 K為虛二次域時,UK=WK,而對於實二次域 K,存在一個單位 ε>1(稱為 K的基本單位),使得
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⑤ 二次域
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1801年,C.F.高斯發表了他在20歲時所寫的數論著作《算術研究》,展現了他的一個傑出的思想,即把有理數域和有理整數環上的許多初等數論問題,放到更大的域和環──二次域和它的(代數)整數環上來研究。他在這些方面的工作,是研究二次域的開端,也是代數數論的一個源頭。
二次域有許多研究課題,其中最著名的是高斯關於類數問題的兩個猜想:①只有有限多個類數為1的虛二次域;②存在著無限多個類數為1的實二次域。關於第一個猜想,1934年,H.海布雷恩證明了當d(K)→
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參考書目
D. B. Zagier,Zetaƒunktionen und Quadratische Krper,Springer-Verlag, Berlin, 1981.