簡介
設 R 是一個整環,如果 R 的每個理想都是主理想,即都可以由一個元素生成,則稱 R 是主理想整環。
整數環是主理想整環。設 F 是域,則多項式環 F[x] 也是主理想整環。
設 R 是主理想整環,I 是 R 的非零真理想,則
I 是素理想I 是極大理想。
主理想環
定義
一個整環叫做一個主理想環,假如整環的每一個理想都是一個主理想,則稱一個主理想環一定是一個唯一分解環。
等價定義
設A為整環,那么下面的條件等價:
1. A是主理想環;
2. A的每個素理想都是主理想;
4. A的任意理想都是主理想;
5. A存在Dedekind–Hasse範數。
整環
一個非零環R叫做一個整環(integral domain),整環是抽象代數中最基本的概念之一。對任意的a,b屬於環R,假如:
1、乘法適合交換律ab=ba;
2、R有單位元e;
3、R沒有零因子ab=0可得a=0或b=0,
則R是整環。