關於第一個猜想的進展一直緩慢.1934年，海 爾布倫(Heilbronn,H. A.)與林福特(Linfoot)證明 了最多只有10個類數為1的虛二次域.然而，高斯 只列出9個.多年來，第10個域的存在與否一直是 數學家的研究目標.1952年，一位中學教師希格納 ( Heegner , K.)在論文“丟番圖分析與模函式”中給 出了第10個域不存在的證明，但他的證明有一些錯 誤，故沒有引起人們的重視.斯塔爾克(Stark, H. M.)受希格納方法的啟發，設法避開模函式，終於在
1967年證明了類數為1的第10個虛二次域不存 在.而貝克(Baker , A.)在超越數方面的工作，使他 在1967年也完成了第10個域不存在的證明.至此， 高斯關於類數是1的虛二次域的猜想被證實. 1971年，貝克與斯塔爾克利用對數線性無關的 方法各自獨立地證明了共有18個類數為2的虛二 次域Q(、廠扁)，它們對應的m = 5,6,10,13,15, 22，35，37，51，58，91，115，123，187，235，267，403， 427.對於類數更大的虛二次域問題是很難求解的. 而類數為1的實二次域是否有無窮多，尚無解決的 希望.日本數學會編的《岩波數學辭典》第二版(1968 年)列出了在1Gm鎮501的範圍里，共有306個無 平方因子的m，類數為1的實二次域Q(、/麗)就有 142個.類數大於1的實二次域，更是難以解決的問 題.
