二次型的算術理論
正文
主要研究“以型表型”的問題。設D 是域K或K中含有單位元素1的環,以I記K或D。所謂I上的二次型,是指n個變元![二次型的算術理論](/img/6/cc7/ml2ZuM3X3AzM3IjMwMTNxgDM5ETMwADMwADMwADMwADMxAzL1EzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
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最早對二次型進行系統研究的是C.F.高斯。二次型的算術理論在不定方程中有大量的套用,也套用於組合設計和結晶學。
型的性質與選取型的係數所在的基域K和環D有關。在有理數域Q和p進數域Qp,以及它們包含的整環上所得的結果,大都可以推廣到一般的整體域和局部域上。
域上的二次型 設K是任意一個特徵非2的域,則有以下重要結果:
① K上秩為n的型均在K上等價於一個對角型
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② E.維特於1936年證明了消去定理:若非奇異l元型
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③ C.L.西格爾於 1941年證明了K上的零型必為K上的泛型。反之不常真。由此可知,非奇異n元型ƒ可在K上表出K中的元素α的充分必要條件為n+1元型
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④ K上非奇異n元型ƒ可在K上表出非奇異m元型g的充分必要條件為存在n-m元型h,使得
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哈塞於 1923年至1924年建立了關於有理數域Q上型的著名準則。弱哈塞準則,亦稱哈塞-閔科夫斯基定理:Q上兩個非奇異型
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環上的二次型 當域K的特徵非2,I=D嶅K是一個環(通常取D使K為其商域)時,設
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關於表數問題,G.L.沃森在1955年用初等方法得到了一個很好的結果:nƒ≥4的非奇異的非定整型ƒ可在Z上表出一個非零整數α的充分必要條件是:對所有p(包括p=
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二次型的簡化法 這是R上的型關於在Z上等價性的理論,由C.埃爾米特首先提出。其基本問題是要從R上諸型的每個Z上的等價類中選出的一個係數儘可能簡單(即滿足某些所謂簡化條件)的型來,這樣的型稱為已化型。簡化方法很多,最常用的是埃爾米特和H.閔科夫斯基的簡化法,它們均與正定二次型 ƒ 的極小值 minƒ 有關,minƒ是型ƒ(x)對於所有非零整向量x的最小值。可以證明,存在一個僅與變元數n有關的常數сn,使得對所有n元正定型ƒ均有
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參考書目
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G.L.Watson,Integral Quadratic Forms, Cambridge Univ.Press,London,1960.