內容介紹
《算術研究》是被譽為“數學王子”的德國大數學家高斯的第一部傑作，該書寫於1797年，1801年正式出版，這是一部用拉丁文寫成的巨著，是數論的最經典及最具權威性的著作。在隨後的200年時間中被翻譯成多國文字，如德文、英文、俄文等。這部著作在數學中的重要地位不亞於《聖經》在基督教中的地位，只有歐幾里得的《幾何原本》堪與之相比，因為高斯有一句名言：“數學是科學的女皇，數論是數學的女皇。”這部著作共七篇。第一篇討論一般的數的同餘：並首次引進了同餘記號，這是現代數學中無處不在的等價和分類概念出現在代數中的最早的意義重大的例子。
第二篇討論一次同餘方程：其中嚴格證明了算術基本定理。
第三篇討論冪的同餘式：此篇詳細討論了高次同餘式。
第四篇“二次同餘方程”意義非同尋常：因為其中給出了二次互反律的證明，有人統計到21世紀初，二次互反律的證明已經超過200種，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、劉維爾、庫默爾、克羅內克、戴德金、瓦萊－布桑、希爾伯特、弗羅貝尼烏斯、斯蒂爾切斯、M?里斯、韋伊都給出了新證法，可見問題之重要。
第五篇是“二次型與二次不定方程”在這一篇中關於二次型的特徵的研究，標誌著群特徵標理論的肇始，使高斯成為群論的先驅者之一。
第六篇把前面的理論套用到各種特殊情形，並引入了超越函式。
第七篇是“分圓方程”，不少人認為此篇是《算術研究》的頂峰。
《算術研究》當時對於數學家也很難讀，它曾被稱為“七印封嚴之書”（這是西方人對難解之書喜用的詞，近於中國人所謂的“天書”，典出《聖經?啟示錄》第五章第一節：“我看見坐寶座的右手中有書卷，里外都寫著書，用七印封嚴了”）後來迪利克雷作了詳細注釋。此書簡潔完美的風格多少減慢了它的傳播速度，而最終當富有才華的年輕人開始深入研讀它時，由於出版商的破產，又買不到它了，甚至高斯最喜歡的學生艾森斯坦從未能擁有一本，有些學生不得不從頭到尾抄錄全書。
作者介紹
作者：（德國）高斯 譯者：潘承彪 張明堯潘承彪，1938年生於江蘇省蘇州市，1960年畢業於北京大學數學力學係數學專業，1961年起在北京農業機化學院（後改名為北京農業工程大學、中國農業大學）工作，從1977年起同時在北京大學數學系工作。主要從事數學，特別是數論的教學科研工作。與胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析數論基礎》、《素數定理的初等證明》、《代數數論》、《初等數論》及《模形式導引》等。
張明堯，1945年12月生於山東省菏澤市，1967年畢業於安徽大學數學系，1981年獲得碩士學位後在安徽大學工作；1987年獲得博士學位後在中國科技大學工作；1994年調海南大學工作；1996年調上海華東理工大學工作。譯著有《數論中未解決的問題（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《純數學教程(紀念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代數論(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修訂者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。
作品目錄
第一篇數的同餘第1～12目1同餘的數，模，剩餘及非剩餘第1～3目
2最小剩餘第4目
3關於同餘的若干基本定理第5～11目
4若干套用第12目
第二篇一次同餘方程第13～44目
5關於素數、因數等的若干預備定理第13～25目
6一次同餘方程的解第26～31目
7對若干個給定的模，求分別同餘於給定的剩餘的數的方法第32～36目
8多元線性同餘方程組第37目
9若干不同的定理第38～44目
第三篇冪剩餘第45～93目
10首項為1的幾何數列的各項的剩餘組成周期序列第45～48目
首先討論素數模第49～81目
11當模為素數p時，周期的項數是p-1的除數第49目
12Fermat定理第50～51目
13對應的周期的項數等於p-1的給定的除數的數的個數第52～56目
14原根，基，指標第57目
15指標的運算第58～59目
16同餘方程xn≡A的根第60～68目
17不同系統的指標間的關係第69～71目
18為特殊套用選取基第72目
19求原根的方法第73～74目
20關於周期和原根的幾個不同的定理第75～81目
（Wilson定理）第76～78目
合數模的討論第82～93目
21模為素數冪第82～89目
22模為2的方冪第90～91目
23由若干個素數合成的模第92～93目
第四篇二次同餘方程第94～152目
24二次剩餘和非剩餘第94～95目
25若模是素數，則在小於模的數中剩餘的個數等於非剩餘的個數第96～97目
26合數是否是給定素數的剩餘或非剩餘的問題依賴於它的因數的性質第98～99目
27合數模第100～105目
28給定的數是給定素數模的剩餘或非剩餘的一般判別法第106目
以給定的數為其剩餘或非剩餘的素數的討論第107～150目
29剩餘-1第108～111目
30剩餘+2和-2第112～116目
31剩餘+3和-3第117～120目
32剩餘+5和-5第121～123目
33剩餘+7和-7第124目
34為一般討論做準備第125～129目
35用歸納方法來發現一般的(基本)定理及由其推出的結論第130～134目
36基本定理的嚴格證明第135～144目
37用類似方法證明第114目中的定理第145目
38一般問題的解法第146目
39以給定的數為其剩餘或非剩餘的全體素數的線性表示式第147～150目
40其他數學家關於這些研究的工作第151目
41一般形式的二次同餘方程第152目
第五篇二次型和二次不定方程第153～307目
42研究計畫；型的定義及符號第153目
43數的表示；行列式第154目
44數M由型(a,b,c)來表示時所屬的表示式2-ac (mod M)的值第155～156目
45一個型包含另一個型，或包含在另一個型之中；正常及反常變換第157目
46正常等價及反常等價第158目
47相反的型第159目
48相鄰的型第160目
49型的係數的公約數第161目
50給定的一個型變為另一個型的所有可能的同型變換之間的關係第162目
51歧型第163目
52與同時既是正常地又是反常地包含在另一個型中的型有關的定理第164目
53由型表示數的一般性研究以及這些表示與變換的聯繫第166～170目
54行列式為負的型第171～181目
55特殊的套用：將一個數分解成兩個平方數，分解成一個平方數和另一個平方數的兩倍，分解成一個平方數和另一個平方數的三倍第182目
56具有正的非平方數行列式的型第183～205目
57行列式為平方數的型第206～212目
58包含在另一個與之不等價的型之中的型第213～214目
59行列式為零的型第215目
60所有二元二次不定方程的一般整數解第216～221目
61歷史註記第222目
關於型的進一步研究第223～265目
62給定行列式的型的分類第223～225目
63類劃分成層第226～227目
64層劃分成族第228～233目
65型的合成第234～244目
66層的合成第245目
67族的合成第246～248目
68類的合成第249～251目
69對給定的行列式，在同一個層的每一個族中都有同樣多個類第252目
70不同的層中各個族所含類的個數的比較第253～256目
71歧類的個數第257～260目
72對於給定的行列式，所有可能的特徵有一半不能適合於任何正常本原(當行列式為負數時，還是定正的)族第261目
73基本定理以及與剩餘-1,+2,-2有關的其他定理的第二個證明第262目
74精確地確定不能適合於族的那一半特徵第263～264目
75分解素數成兩個平方數的特殊方法第265目
76三元型研究雜談第266～285目
對於二元型理論的某些套用第286～307目
77怎樣求一個型，由它的加倍可以得到主族中一個給定的二元型第286目
78除了在第263和264目中已經證明其不可能的那些特徵之外，其他所有的特徵都與某個族相對應第287目
79數及二元型分解為三個平方的理論第288～292目
80Fermat定理的證明：任何整數可以分解成三個三角數或者分解成四個平方數第293目
81方程ax2+by2+cz2=0的解第294～295目
82Legendre講述基本定理的方法第296～298目
83由任意的三元型表示零第299目
84二元二次不定方程的有理通解第300目
85族的平均個數第301目
86類的平均個數第302～304目
87正常本原類的特殊算法；正則和非正則的行列式，等第305～307目
第六篇前面討論的若干套用第308～334目
88將分數分解為若干個較簡單分數第309～311目
89普通分數轉換為十進制數第312～318目
90用排除法解同餘方程x2≡A第319～322目
91用排除法解不定方程mx2＋ny2=A第323～326目
92A為負數時同餘方程x2≡A的另一種解法第327，328目
93判別合數與素數及尋求合數的因數的兩個方法第329～334目
第七篇分圓方程第335～366目
94討論可歸結為把圓分為素數份的最簡單情形第336目
95關於弧(它由整個圓周的一份或若干份組成)的三角函式的方程；把三角函式歸結為方程xn-1=0的根第337～338目
關於方程xn-1=0的根的理論（假定n是素數）第339～354目
96若不計根1，則全部其餘的根(Ω)是屬於方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0第339～340目
97函式X不能分解為係數均為有理數的因式的乘積第341目
98進一步討論的目的的說明第342目
99Ω中的所有的根可分為若干個類(周期)第343目
100關於Ω中根組成的周期的幾個的定理第344～351目
101基於以上討論解方程X=0第352～354目
進一步討論根的周期第355～360目
102有偶數項的和是實數第355目
103把(Ω)中的根分為兩個周期的方程第356目
104第四篇中提到的一個定理的證明第357目
105把(Ω)中的根分為三個周期的方程第358目
106把求Ω中的根的方程化為最簡方程第359～360目
以上研究在三角函式中的套用第361～364目
107求對應於(Ω)中每個根的角的方法第361目
108不用除法從正弦與餘弦導出正切，餘切，正割及餘割第362目
109逐次降低關於三角函式的方程次數的方法第363，364目
110利用解二次方程或幾何作圖方法可實現的圓周的等分第365，366目
補記
附表
譯者注
附錄高斯——數學王者科學巨人
1德國情勢
2貧寒之家
3心算神童
4學院三載
5大學攻讀
6出手不凡
7科學隨記
8博士論文
9算術探索
10一算成名
11戀愛結婚
12公爵之死
13喪妻再娶
14天文著作
15輝煌十年
16大地測量
17曲面理論
18非歐幾何
19物理研究
20教學工作
21政治風波
22晚年生活
23業餘愛好
24人際關係
25工作風格
26溘然長逝
27高斯全集
注
人名索引
人名譯名表
編輯手記
