算術群
正文
李群中帶有算術性質的一類離散子群。例如，實數域R中的整數全體Z；GL(n,R)中的GL(n, Z)；SL(n, R)中的SL(n,Z)等。令G=GL(n, R)，Г= GL(n,Z),若GL(n,Q)的子群G′是與Г相稱的,則G′稱為GL(n,R)中的算術子群。所謂群H的子群H1與H2是相稱的,意即H1∩H2在H1及H2中的指數【H1:H1∩H2】與【H2:H1∩H2】都是有限的。相稱關係是個等價關係。設G是定義在有理數域Q上的線性代數群,GQ表G的Q有理點所成的子群, 又令GZ=GQ∩GL(n,Z)，若GQ的子群Г與GZ相稱，則Г稱為G的算術子群。這個性質是與G如何嵌入在GL(n,坴)中無關的。如果Г 能同構於G 的一個算術子群, 則Г 稱為算術群。顯然，算術群中的有限指數的子群都是算術群。算術群是較為廣泛的一種群，諸如有限群、有限生成的交換群、無撓的有限生成冪零群以及有限生成的非交換自由群都是算術群；如果環R又是有限秩自由Z 模,那么環R的所有單位所成的乘法群R+,都是算術群；特別地，代數數域K的整數環
的乘法群
，都是算術群。 還有一類重要的算術群。自然同態 ω：GL(n,Z)→GL(n,Z/qZ)下的核Kerω＝Гq,稱主同餘子群,這裡ω是把任一n階整係數方陣(gij)映射到方陣(
ij)∈GL(n,Z/qZ)，其中q為大於1的正整數，而ij是整數gij所屬的模q剩餘類。含主同餘子群Гq的算術子群Г,Гq嶅Г∩GL(n,Z)稱同餘子群。所以同餘子群必然是算術子群,但是,每個算術子群Г是否都是同餘子群,即是否有q使Г∩GL(n,Z)叾Гq，這是算術群理論中的一個核心問題，並稱之為同餘子群問題。當G＝SL(n，R),n≥3時,同餘子群問題已有肯定答案，而n=2時是否定的。對G是別的分裂型單連通單代數群時，也有類似結果。 最早研究的算術群是SL（2,Z）,稱為模群。設H是複數平面的上半平面，即H ={z=x+iy∈C│y>0}，矩陣
以下列方式作用在H上:
z ∈H,SL(2,Z)是SL(2, R)中的算術子群，對於這個算術子群SL(2,Z)可以找到H的一個子集D，使D是SL(2,Z)在H上的基本域,即滿足①SL(2,Z)·D=H,②若g′∈SL(2,Z),則集合{g∈SL(2,Z)｜gD∩g′D≠═}是有限集,也可以對一般算術群定義基本域。研究基本域的存在，緊緻性、測度等方面的理論，稱為算術群的簡約理論。它也是算術群理論中的一個核心問題。早在19世紀，C.F.高斯和J.W.R.戴德金等人在研究橢圓函式的時候，就涉及模群SL(2, Z)及模群下不變的模函式，高斯在討論正定二元二次型的整等價分類時，也已經知道模群的基本域。20世紀30年代C.L.西格爾研究算術群SL(n,Z),並作出了它的基本域，稱為西格爾區域,而SL(n,Z)稱為西格爾模群。至於一般線性代數群中算術群的研究，則是在60年代由A.博雷爾、哈里什－錢德拉以及J.蒂茨開始。這個概念就是首先在他們研究李群中的格的存在性時產生的。隨後，A.賽爾伯格和其他人提出了一個著名的猜想：R-秩大於2的任一半單李群的不可約格皆是算術的。經過博雷爾、M.拉格休內森等許多著名數學家的努力工作，這一猜想最後為G.A.馬圭利斯所證實，他因此獲得1978年的費爾茲獎。這些工作大大地推動和豐富了算術群的研究。 參考書目
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